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Approximation der Eulerschen Zahl

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Funktionenfolgen

Funktionenreihen

Tags: Funktionenfolgen, Funktionenreihen

Maxime aktiv_icon

02:14 Uhr, 24.05.2016

Hallo,

ich habe folgendes Problem bei der folgenden Aufgabe:

"Berechnen Sie eine Approximation der Eulerschen Zahl mit einer Genauigkeit von 3 Dezimalstellen. Leiten Sie hierzu allgemein das Restglied für das Taylorpolynom n-ten Grades der Exponentialfunktion her und wählen Sie dann

n

geeignet. Schätzen Sie hierbei in der Darstellung des Restglieds

e

mit

e < 3

ab."

Wie meine Taylorreihe bzw. mein Taylorpolynom für meine e-Funktion aussieht, weiß ich (siehe Bild

1)

.

Allgemein wäre das ja:

f^{n} (x) = \frac{1}{n!} x^{n}

Und genau ab hier verstehe ich nur noch Bahnhof.

Wie wähle ich hier mein

n

aus? Also nach welchen Kriterien?

Was sagt meine Schätzung von

e < 3

aus? Soll das meine Approximation sein?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

08:52 Uhr, 24.05.2016

Du brauchst keine Reihe, sondern ein Polynom mit dem Restglied. Was für Restglied gemeint ist, kann ich Dir auch nicht sagen, es gibt verschiedene Formen davon:
de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedformeln

Maxime aktiv_icon

12:43 Uhr, 24.05.2016

Mein Polynom ist doch das Polynom auf dem Bild oder verstehe ich das jetzt falsch? Und für das Restglied haben wir diese Formel (Bild).

Mein Polynom zu meiner e-Funktion ist ja:

Tf(x)

= 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + O (x^{4})

Und wie bereits erwähnt läuft mein Polynom ja nach dem Muster ab:

f (x) = \frac{1}{n!} x^{n}

Mein Restglied wäre dann einfach:

Rnf(x)

= \frac{\frac{1}{(n + 1)!} k^{n + 1}}{(n + 1)!} {(x - x 0)}^{n + 1}

Wobei mein

k

hier mein ξ sein soll. Das macht aber die Formel kaputt.

DrBoogie aktiv_icon

13:23 Uhr, 24.05.2016

"Das macht aber die Formel kaputt."

Keine Ahnung, was Du meinst.

Z.B. für das Polynom 3-n Grades ist die Formel

e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!}

+Restglied=

1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{e^{ξ}}{4!} x^{4}

mit

ξ

aus

[0, x]

für

x > 0

. Also bei

x = 1

hättest Du

e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{e^{ξ}}{4!}

mit

ξ

aus

[0, 1]

. Der Restglied kann hier durch

∣ \frac{e^{ξ}}{4!} ∣ = \frac{e^{ξ}}{4!} \leq \frac{e^{1}}{4!} < \frac{3}{4!} = \frac{1}{8}

abgeschätzt werden. Das ist viel zu ungenau. Also brauchst Du vermutlich das Polynom 6-n Grades. Oder 7-n.

Maxime aktiv_icon

15:05 Uhr, 24.05.2016

"Keine Ahnung, was Du meinst."

Für den langen Bruch macht die Seite mein ξ aus dem Zähler raus. Fand ich jetzt ein wenig komisch, aber tut ja momentan wenig zur Sache. Zum Thema:

Mein

x

darf ich doch maximal 1 wählen und mein

e

soll immer

< 3

sein. Sprich mein ξ kann dann nur 1 sein. Ich soll also mein

n

immer größer mit diesen Parametern wählen, bis ich eine Genauigkeit von 3 Dezimalstellen habe. Warum soll aber

\frac{1}{8}

jetzt ungenau sein? Das ist doch

0,125

und würde die Aufgabenstellung lösen oder verstehe ich das jetzt falsch?

Für mein Polynom 6n-Grades:

e^{x} = 1 + \frac{1}{1!} x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} + \frac{1}{5!} x^{5} + \frac{1}{6!} x^{6} +

e^ξ/(7!)

Restglied:

e^ξ

/ (7!)

≤

\frac{e^{1}}{7!} < \frac{3}{7!} = \frac{3}{5040} = \frac{1}{1680} = 5,95 \cdot 10^{- 4}

(über den TR, was ich eigentlich nicht verwenden darf.

EDIT: Mit "Genauigkeit von 3 Dezimalstellen" sind Zahlen ab

0,00 x

gemeint?

DrBoogie aktiv_icon

15:28 Uhr, 24.05.2016

"Mein x darf ich doch maximal 1 wählen und mein e soll immer <3 sein."

x

ist

1

, da ist nichts zu wählen.

"Sprich mein ξ kann dann nur 1 sein."

Keine Ahnung, wie Du darauf kommst.

"EDIT: Mit "Genauigkeit von 3 Dezimalstellen" sind Zahlen ab 0,00x gemeint?"

Nein,

0.000 x

. Die drei Stellen nach dem Komma sollen unverändert bleiben.

ledum aktiv_icon

15:33 Uhr, 24.05.2016

Hallo
wenn

e

auf 3 Stellen genau sein soll dann darf erst die 4. te Ziffer ungenau sein,

d, h,

dein Fehler muss kleiner

0,001

sein.
Gruß ledum

Maxime aktiv_icon

16:46 Uhr, 24.05.2016

An sich hätte ich das jetzt verstanden, danke, aber einige Fragen hätte ich dennoch:

"x ist

1,

da ist nichts zu wählen."

Warum ist

x = 1,

wenn ich keine Angabe dazu in der Aufgabenstellung habe? Weil

e^{x} < 3

nur für

x

≤ 1 gilt?

Und wie wähle ich mein ξ? ξ ist dann einfach der Wert für x?

DrBoogie aktiv_icon

17:52 Uhr, 24.05.2016

"Warum ist x=1, wenn ich keine Angabe dazu in der Aufgabenstellung habe? Weil ex<3 nur für x ≤ 1 gilt?"

Nein. Weil Du

e^{1}

approximierst. Also

e^{x}

beim Wert

x = 1

.

"Und wie wähle ich mein ξ? ξ ist dann einfach der Wert für x? "

Irgendwie hast Du nichts verstanden.

ξ

kannst Du gar nicht wählen. Und auch nicht bestimmen. Du weißt nur, dass

ξ

zwischen

0

und

1

liegt. Aber mehr musst Du auch nicht wissen.

Maxime aktiv_icon

20:28 Uhr, 24.05.2016

Danke vielmals.

Maxime aktiv_icon

20:28 Uhr, 24.05.2016

Danke vielmals.

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