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Approximation durch Treppenfunktion

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

knuSpa aktiv_icon

09:39 Uhr, 29.01.2010

Seien

a, b

ℝ

und

0 < a < b

Jetzt muss ich durch Approximation durch Treppenfunktion zeigen

1) \int_{a}^{b} 1 d x = b - a

und

2) \int_{a}^{b} x d x = \frac{1}{2} \cdot (b^{2} - a^{2})

und

3) \int_{a}^{b} \frac{1}{x^{2}} d x = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}

Ich hab zu dem Thema leider so gut wie nichts verstanden, vllt kann mir jmd helfen! Danke im vorraus - wie immer ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

hagman aktiv_icon

09:41 Uhr, 30.01.2010

Bei

1)

ist es noch ganz einfach. Das *ist* ja eine Treppenfunktion.

Bei

2)

Zerlege in

n

Streigen der Breite

h = \frac{b - a}{n}

.
Nach unten kannst du dann

x

abschätzen durch die Treppenfunktion

f_{u} (x)

mit

f_{u} (x) = k \cdot h

für

k \cdot h < x < (k + 1) \cdot h, 0 \leq k < n

.
Nach oben entsprechend durch

f_{o} (x) = (k + 1) \cdot h

für

k \cdot h < x < (k + a) \cdot h

.
Denn dann gilt

f_{u} (x) \leq f (x) \leq f_{o} (x)

für alle

x \in [a, b]

.
Die Treppen funktionen

f_{u}

und

f_{o}

kannst du dann einfach integrieren durch Addition ihrer jeweils

n

Rechteckflächen. Danach Grenzübergang

n \to \infty

knuSpa aktiv_icon

10:17 Uhr, 30.01.2010

Danke, Aufgabe 1 und 2 habe ich jetzt auch gelöst.

Nummer 1 ist ja in der Tat schon eine Treppenfunktion. Da kommt man ja ganz schnell auf die Lösung, wenn man annimmt, dass für alle Wete zwischenh

b

und a der Wert 1 ist.

lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} 1 = lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \cdot n = b - a

Bei 2 habe ich aufgespalten in die Inegrale

\int_{0}^{b} x d x - \int_{0}^{a} x d x

.
Dann ist

\int_{0}^{b} x d x = lim_{n \to \infty} \cdot \frac{b}{n} \sum_{i = 1}^{n}

bi/n
Nun kann man

b

und

n

aus der Summe herausziehen,

\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{1}{2} n (n + 1)

Daraus folgt

lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} (b^{2} + \frac{b^{2}}{n})}{2 n^{2}} = lim_{n \to \infty} \frac{b^{2} + \frac{b^{2}}{n}}{2} = \frac{b^{2}}{2}

Analog für

\int_{0}^{a} x d x

.
Somit folgt die Behauptung.

Nur bei 3 komme ich irgendwie nicht weiter.
Sicherlich kann man die

x_{i}

wieder als

\frac{b - a}{n}

wählen, die

{f (x)}_{i}

dann als

\frac{1}{{(\frac{i}{n})}^{2}},

also als

\frac{n^{2}}{i^{2}}

.

Dann müsste also

lim_{n \to \infty} (b - a) n \cdot \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{i^{2}} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}

sein.

Jetzt aber hänge ich fest. Ich krige diese Rechnung einfach nicht zu Ende. Hat vielleicht jemand eine Idee? Oder ahbe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

hagman aktiv_icon

12:23 Uhr, 30.01.2010

Für

1 \leq k \leq m

gilt

\sum_{i = k}^{m} \frac{1}{i^{2}} \leq \sum_{i = k}^{m} \frac{1}{i \cdot (i + 1)} = \sum_{i = k}^{m} (\frac{1}{i} - \frac{1}{i + 1}) = \frac{1}{k} - \frac{1}{m + 1}

und für

2 \leq k \leq m

gilt

\sum_{i = k}^{m} \frac{1}{i^{2}} \geq \sum_{i = k}^{m} \frac{1}{i \cdot (i - 1)} = \sum_{i = k}^{m} (\frac{1}{i - 1} - \frac{1}{i}) = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{m}

knuSpa aktiv_icon

12:54 Uhr, 30.01.2010

Sry, aber da verstehe ich gerade nicht, wie ich von da zum Ergebnis komme.
Sicher kann ich wieder

n^{2}

herausziehen. Dann habe ich

n (b - a) \cdot \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i^{2}}

dort stehen.
Ich denke, du wolltest mir zeigen, wie ich diese Summe abschätzen kann, aber damit gelange ich trotzdem nicht zum Ergebnis...

Crosell aktiv_icon

13:14 Uhr, 31.01.2010

Die Relationszeichen für Hagman's Abschätzung sind genau verkehrt herum. Die erste Summenabschätzung muss größer gleich sein, die zweite kleiner gleich.

Und bei dir KnuSpa, glaub ich nicht, dass genau die gleiche heransgehensweise möglich ist wie bei dem anderen Integral, da die Funktion in der Null nicht definiert ist und die Fläche gegen 0 auch gegen unendlich strebt. Somit kann man die eine Grenze a nicht einfach Null setzen, vllt. hab ich mich auch verguckt, aber es sieht so aus, als hättest du das bei deinem Ansatz fürs Integral gemacht, sonst würde denke nicht so ein einfacher Ausdruck im Nenner entstehen können.

Ich weiß nich in wie weit das jetzt weiterhilft, aber musste das mal anmerken :-)

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