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Guten Tag, von folgender Differentialgleichung soll ich zuerst die reduzierte Lösung ausrechnen: mit AWB Die reduziere Lösung ist, wenn ich richtig gerechnet habe . Nun soll ich argumentieren, warum das eine gute Approximation in für festes T ist aber eine schlechte Approximation in (Raum der stetigen, beschränkten Funktionen). Wie könnte man das argumentieren? MfG, Noah |
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Wenn da rechts wirklich steht, dann ist das gar keine "echte" Störfunktion, sondern gehört mit nach links zur eigentlichen DGL: . Das müsste dann die eigentliche Lösung ergeben, zumindest im Fall . Festzustellen ist auf jeden Fall, dass dieses auf jedem Intervall für gleichmäßig gegen konvergiert; diese gleichmäßige Konvergenz trifft aber auf nicht zu - meinst du sowas? |
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Hallo, danke erstmal für die Antwort. Für die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen muss man ja zunächst berechnen. Wie geht man am besten da vor? Und inwiefern is es wichtig, dass beim zweiten Intervall anstatt steht? |
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Zur Abschätzung dieser Differenz könnte man beispielsweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden, angewandt auf die Kosinusfunktion: Laut dem existiert ein zwischen und mit was wegen für die Abschätzung ermöglicht. Für ergibt das die gewünschte gleichmäßige Stetigkeit auf Intervall . Jedoch ist der Teil der Abschätzung für statt nicht möglich. Und tatsächlich laufen die Argumente und auch bei noch so kleinem für irgendwann soweit auseinander, dass die für die gleichmäßige Konvergenz notwendige Beschränktheit der Differenz der Funktionswerte nicht gewährleistet werden kann. Letzteres kann man auch "seriös" in Formeln fassen - versuch's mal! > Und inwiefern is es wichtig, dass beim zweiten Intervall anstatt steht? Nun, man hätte vorher auch schreiben können, aber da stetige Funktionen auf kompakten Intervallen eh automatisch beschränkt sind, kann man das auch unterlassen. |
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Hab's verstanden. Danke für die Hilfe! |