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Approximation einer Differentialgleichung

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

NFFN1 aktiv_icon

13:07 Uhr, 13.05.2022

Guten Tag,

von folgender Differentialgleichung soll ich zuerst die reduzierte Lösung ausrechnen:

u ʺ + u = ε u

mit AWB

u (0) = u_{0}, u ʹ (0) = 0

Die reduziere Lösung ist, wenn ich richtig gerechnet habe

u_{0} c o s (x)

.
Nun soll ich argumentieren, warum das eine gute Approximation in

C ([0, T])

für festes T ist aber eine schlechte Approximation in

C_{B} ([0, \infty))

(Raum der stetigen, beschränkten Funktionen).

Wie könnte man das argumentieren?

MfG,
Noah

HAL9000 aktiv_icon

14:37 Uhr, 13.05.2022

Wenn da rechts wirklich

ε u

steht, dann ist das gar keine "echte" Störfunktion, sondern gehört mit nach links zur eigentlichen DGL:

u ʺ + (1 - ε) u = 0

.

Das müsste dann die eigentliche Lösung

u_{ε} (t) = u_{0} \cdot \cos (\sqrt{1 - ε} \cdot t)

ergeben, zumindest im Fall

ε < 1

.

Festzustellen ist auf jeden Fall, dass dieses

u_{ε} (t)

auf jedem Intervall

[0, T]

für

ε \to 0

gleichmäßig gegen

u (t) = u_{0} \cdot \cos (t)

konvergiert; diese gleichmäßige Konvergenz trifft aber auf

[0, \infty)

nicht zu - meinst du sowas?

NFFN1 aktiv_icon

16:26 Uhr, 13.05.2022

Hallo, danke erstmal für die Antwort.

Für die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen muss man ja zunächst

s u p ∣ u_{0} (c o s (\sqrt{1 - ε} x) - c o s (x)) ∣

berechnen. Wie geht man am besten da vor?
Und inwiefern is es wichtig, dass beim zweiten Intervall

C_{B} ([0, \infty))

anstatt

C ([0, \infty))

steht?

HAL9000 aktiv_icon

07:27 Uhr, 14.05.2022

Zur Abschätzung dieser Differenz könnte man beispielsweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden, angewandt auf die Kosinusfunktion:

Laut dem existiert ein

ξ

zwischen

\sqrt{1 - ε} x

und

x

mit

\cos (\sqrt{1 - ε} \cdot x) - \cos (x) = - \sin (ξ) \cdot (\sqrt{1 - ε} \cdot x - x)

was wegen

∣ \sin (ξ) ∣ \leq 1

für

0 \leq x \leq T

die Abschätzung

∣ u_{0} \cos (\sqrt{1 - ε} \cdot x) - u_{0} \cos (x) ∣ \leq ∣ u_{0} ∣ x (1 - \sqrt{1 - ε}) \overset{!}{\leq} ∣ u_{0} ∣ T (1 - \sqrt{1 - ε}) = ∣ u_{0} ∣ T \frac{ε}{1 + \sqrt{1 - ε}} \leq ∣ u_{0} ∣ T ε

ermöglicht. Für

ε \to 0

ergibt das die gewünschte gleichmäßige Stetigkeit auf Intervall

[0, T]

.

Jedoch ist der Teil

\overset{!}{\leq}

der Abschätzung für

[0, \infty)

statt

[0, T]

nicht möglich. Und tatsächlich laufen die Argumente

x

und

\sqrt{1 - ε} \cdot x

auch bei noch so kleinem

ε

für

x \to \infty

irgendwann soweit auseinander, dass die für die gleichmäßige Konvergenz notwendige Beschränktheit der Differenz der Funktionswerte nicht gewährleistet werden kann. Letzteres kann man auch "seriös" in Formeln fassen - versuch's mal!

> Und inwiefern is es wichtig, dass beim zweiten Intervall

C_{B} ([0, \infty))

anstatt

C ([0, \infty))

steht?

Nun, man hätte vorher auch

C_{B} ([0, T])

schreiben können, aber da stetige Funktionen auf kompakten Intervallen eh automatisch beschränkt sind, kann man das auch unterlassen.

NFFN1 aktiv_icon

11:43 Uhr, 14.05.2022

Hab's verstanden.
Danke für die Hilfe!

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