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Arbeitsbereich Symmetrisches Trapezes in 3D
Universität / Fachhochschule
Körper
Vektorräume
Tags: Körper, Vektorraum
 
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Hallo zusammen, ich möchte mich nochmals für die elegante Lösung der vorherigen Aufgabe mit dem Trapez bedanken, die ich gut in mein System integrieren konnte. Wie Roman im alten Post bereits erwähnt hat, war meine vorherige Aufgabe überbestimmt, wenn die Länge b bekannt ist. Nun bräuchte ich eine saubere Lösung, um den Punkt A einzugrenzen, damit Länge B und Punkt A erfüllt werden können. Ich habe unten eine kleine Skizze vorbereitet und füge den Geogebra-Link vom vorherigen Post bei. www.geogebra.org/3d/pr3egbnk Diese Aufgabe könnte man nun wieder zuerst 2D lösen und dann um die Z-Achse rotieren, jedoch würde ich gerne wieder einen direkteren Lösungsweg finden. Ich könnte mir vorstellen das man etwas mit einem Konus berechenen lässt, aber das ist leider nicht meine Expertise. Ich bin für alle Ansätze dankbar. Gruss AarZeon  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo wieder, ich blicke jetzt nicht wo anzusetzen ist. Soll das ein (bewegtes) Gelenk werden? Um Formeln zu erhalten könnte man das CAS bemühen. Müsste dann allerdings Rotationen/Spiegelungen als Matrix (vorzugsweise in homogenen Koordinaten) anlegen. Vielleicht solltest du das Gesamtkunstwerk mal vorstellen und nicht immer nur ausschnittweise Informationen rausgeben. Ich hab gelegentlich diesem Thema zugearbeitet. z.B www.geogebra.org/m/ndavnham www.geogebra.org/m/xnsfd2mb |
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Was genau willst du wissen für dieses Problem? Laut Skizze eine fassbare Beschreibung der möglichen geometrischen Orte für Punkt ? Das im Text dargelegte "damit Länge B und Punkt A erfüllt werden können" finde ich völlig unverständlich. |
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Ich habe eine Skizze gemacht mit einen Vorschlag wie man das Problem lösen könnte. Das Ziel wäre das ich eine Beschreibung/Darstellung des Arbeitsbreich wie in deinem Link hätte. www.geogebra.org/m/ndavnham Bezüglich Gelenk, der Winkel Alpha bewegt sich zwischen 0-30° und in der Mitte ist eine Rotationsachse, da es im 3D Raum ist.  |
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Ah ja, dann wäre allerdings B das führende Element und A müsste dazu konstruiert werden, oder? Könnte das dann so aussehen sollen? z-Achse gestaucht  |
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Ja, da hast Du recht. A ist nicht mehr führend sondern der Winkel zwischen CB zu Z Achse (0-30°) und die Länge C zu B. Das Bild repräsentiert den Arbeitsraum gut nun brauchts eine Formel die diesen Raum beschreibt. Aus meiner Sicht ist dies das die Schnittmenge eines Kegels mit Winkel 30° und Höhe (Origin-C + CB + Origin-C). und die differenz von der grossen zur kleinen Kugel. |
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Irgendwie hab ich den Eindruck, dass du uns im Kreis schickst. Jetzt kennt man vom ebenen gleichschenkeligen Trapez also plötzlich die Punkte und und sucht den Punkt A? Was spricht dagegen, den Punkt an der Symmetrieachse des Trapezes zu spiegeln, ähnlich wie es macsymca im letzten Thread mit dem Punkt gemacht hat? |
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Yep, Roman, so isses, k Slider 155...183 (Länge) ε Slider 0...30° (winkel) B=Point(Circle((0,0,k cos(ε)),k sin(ε),xOyPlane)) A=Reflect(Origin,PerpendicularLine(((C+B)/(2)),Line(C,B),Plane(Origin,C,B))) k, ε, B Da entsteht aber keine Kugeloberfläche, da A quasi mit veränderlichem Radius durch den "Kegel" wandert... |
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Hallo Roman, Es tut mir leid, wenn es dir so vorkommt. Ich habe zwei Skizzen angefertigt, die die Aufgaben beschreiben. Die Skizzen sind nur in 2D, mein Problem liegt jedoch im 3D-Bereich. Der vorherige Beitrag sollte zeigen, dass ich mittels des definierten Punktes A den Winkel und die Länge berechnen kann. Da in der Realität gewisse Bedingungen erfüllt werden müssen, kann der Punkt A nicht beliebig positioniert werden. Deshalb suche ich in diesem Beitrag eine Gleichung für einen Raum bzw. eine Geometrie, die alle akzeptierbaren A-Punkte beschreibt. Ich hoffe, dies macht die Situation klarer. Hier ist noch die 2D Version in GeoGebra. www.geogebra.org/graphing/ytt6kpjj Gruss AarZeon   |
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Ich weiß nicht, welche Art von "Gleichung" dir da vorschwebt. Es handelt sich natürlich zunächts um eine Aufgabe, da du ja gar nicht formulierst, wie du die Lage von außerhalb der xz-Ebene festlegen möchtest. Gegeben sind also und wobei fest ist und und in einem gewissen Bereich variabel sind. Damit sind die Eckpunkte und eines ebenen gleichschenkeligen Trapezes festgelegt. Gesucht ist der Punk sowie der Bereich in der xz-Ebene, in dem sich der Punkt A befinden kann, wenn und die gegebenen Bereiche überstreichen. Für die Koordinaten des Punktes in der xz-Ebene gilt: Und das ist doch gleichzeitig auch schon dein Bereich wenn und ist. Sieht dann im Bild so aus:  Der Punkt A kann sich bei den gegebenen Beschränkungen für und nur im rot markierten Bereich bewegen, welcher durch obigen Gleichungen in Abhängigkeit von und beschrieben wird. Die Grenzlinien sind dabei 2 Strecken (auf der z-Achse und auf der Ursprungsgeraden mit Steigwinkel welche sich für bwz. mit variablem einstellen, sowie Teile zweier Kurven (grün und blau), welche sich mit bzw- und variablem ergeben. Diese Kurven sehen vielleicht auf den ersten Blick kreisförmig aus, sind es aber nicht! kann sich im Bereich von ca. bis bewegen, wobei der bereich je nach Wert von variiert. Für gilt und für ist . Die Intervalle für a haben natürlich immer die Länge also die Länge des Intervalls aus dem zu wählen ist. Das Bild zeigt auch exemplarisch das Trapez, welches sich mit und ergibt. Da sich beide Werte im erlaubten Bereich befinden, befindet sich auch der gelb markierte Punkt A im erlaubten roten Bereich. Für die räumliche Aufgabe müsstest du festlegen, um welchen Winkel der Punkt um die z-Achse gedreht werden soll. Der Rest dreht sich dann genau so mit. |
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In der B Formel oben fehlt das h (aus C) in der z-Koordinate! Ich hab das einfach im CAS durchgezogen und die Parameter mitgenommen. Im Punkt L (CB/2) eine Ebene mit CB als normalen Vektor mit der z-Achse geschnitten und so den LOT Punkt auf CB bestimmt. Damit bekomme ich den Vektor d (OriginA/2) und damit A. In der Term-Wüste setze ich für A einmal k=155 (untere Haube), k=183 (obere Haube) mit Surface Parameter (für den Kreis von A um die z-Achse). Ich weiß nicht, ob ich das herzeigen will und ob es weiterhilft, bzw. in die richtgie Richtung geht ;-)...  |
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Ich erhalte mit den oben vorgestellten Funktionen auch diese 'Hauben', wenn ich den vorhin rot markierten Bereich um die z-Achse rotieren lasse: |
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Ich denke, das ist der richtige Weg, ich bin mir nun nicht sicher, wie man den Bereich definiert. www.geogebra.org/3d/snsh9dr5 Hier habe ich einen GeoGebra-Link, in dem ich versucht habe, mit Boolescher Algebra diesen Bereich zu definieren. Ich scheiterte aber beim Kegel und der Schnittmenge. Vielleicht gibt es bessere Darstellungsmöglichkeiten dieses Raumes. |
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Es gibt in 3d keine Boolesche Operation von Objecten in ggb, das ist nur in 2d möglich. Außerdem sind die Hauben nicht kugelig. Ich hab die Bewegungen in Kurven übertragen, z.B. damit gerechnet (siehe oben) und gezeichnet das führt auf eine Kurve von A in der Haube f(k,t_1,t_2):= (k cos(t_1) sin(t_2) + h cos(t_1) sin(2t_2), k sin(t_1) sin(t_2) + h sin(t_1) sin(2t_2), 2h + k cos(t_2) - sin²(t_2) * 2h) k = 155...183 t_1 = 0...2pi t_2 = 0...30° daraus die Haube (Surface). Kann man ggf. noch etwas hübschen, wenn man genauer drauf schaut. Vielleicht hat Roman was kompakteres hervor gebracht?  |
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Ich denke, das ist der richtige Weg, ich bin mir nun nicht sicher, wie man den Bereich definiert. Und wieder einmal ist mir völlig unklar, was genau dein Ziel ist. Die Definition des Bereichs habe ich dir doch schon längst angegeben Wo ist jetzt noch ein Problem - oder hast du Probleme mit der Drehung um die z-Achse? Der Bereich im Dreidimensionalen ist ein Volumen, ein Körper und keine Fläche und ist daher von drei Parametern abhängig. Der gewünschte Bereich ist daher definiert durch Dabei sind und die von dir so genannten Größen mit und . ist der Drehwinkel um die z-Achse mit Da um gedreht wird ist die z-Koordinate natürlich von unabhängig - der Parameter ist dort nur der Konsistenz halber auch angegeben. Die beiden begrenzenden Kalotten (nochmals zur Sicherheit: das sind keine Kugelkalotten!!) erhält man, wenn man konstant hält mit (grün) und (blau). Den bei mir vorhin in orange geplotteten Rand (der ist tatsächlich Teil einer Kegelfläche) erhältst du wenn du konstant setzt. Wenn es dir aber nur darum geht, wie man den Plot in dem von dir offenbar bevorzugt verwendeten GeoGebra realisiert, bist du vielleicht in einem GeoGebra Forum auch gut aufgehoben. Ich weiß nicht, ob und wie GeoGebra direkt einen Vollkörper realisieren kann ohne ihn bloß als eine Summe von Begrenzungsflächen darzustellen, so wie ich das mit einem anderen Programm gemacht hatte. Oder geht es dir um die möglichen Längen der Strecke ? Diese erhältst du auch leicht mithilfe von Pythagoras aus den oben angegebenen Funktionen für die Koordinaten von A Den wertemäßigen Bereich in dem sich a bewegen kann hab ich dir in einer vorherigen Antwort ja schon genannt. Er geht von bis . Und wenn es dir darum geht, festzustellen, welche Länge a für einen bestimmten Winkel haben darf, damit im Bereich von bis liegt, dann berechnest du eben einfach und und erhältst damit die Grenzen für die Länge von . Es wäre sehr hilfreich, wenn du einmal klar und unmissverständlich ausdrücken könntest, was du eigentlich wirklich benötigst und suchst. |
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Ich Danke für eure Unterstützung, meine mathematischen Probleme sollten nun gelöst sein. |
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Ich Danke für eure Unterstützung, meine mathematischen Probleme sollten nun gelöst sein. |
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