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Arcsin(x) ableiten und Umrechnung trig. Funktionen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

Prima5 aktiv_icon

14:41 Uhr, 25.03.2011

Hallo, also ich habe einmal ne Frage zum Ableiten. Und zwar von der Funktion

f (x) =

arcsin(x).

1)

stimmt es, das arcsin(x)

= {sin}^{- 1} (x)

ist ? Wäre das dann das gleiche wie

\frac{1}{sin (x)}

2)

wenn ich es mithilfe der Umkehrfunktion ableite, komme ich nachher auf:

f' (x) =

1/(cos(arcsin(x)))

Ist das richtig, kann man das noch irgendwie umschreiben?

3)

Wieso ist

cos

von arctan

x = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

?

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mehr helfen könntet?
MfG Manuel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

15:02 Uhr, 25.03.2011

Nein

a r c s i n (x) \neq \frac{1}{sin (x)}

. Genau wegen dieser Verwechslungsgefahr mag ich die Schreibweise

{sin}^{- 1} (x)

nicht. Wenn dann wäre der Kosekans

c s c (x) = \frac{1}{sin (x)}

. Aber der Arkussinus ist die Umkehrfunktion vom Sinus, also

a r c s i n (s i n (x)) = x

Und benutze

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) = 1 \Rightarrow cos (x) = \sqrt{1 - {sin}^{2} (x)}

um die Ableitung noch zu vereinfachen.
Noch zu

3) :

Es ist

tan (x) = \frac{sin (x)}{cos (x)} = \frac{\sqrt{1 - {cos}^{2} (x)}}{cos (x)}

und daraus folgt

cos (x) = \frac{1}{\sqrt{{tan}^{2} (x) + 1}}

. Der Rest sollte klar sein.

artiiK aktiv_icon

15:37 Uhr, 25.03.2011

1) {sin}^{- 1} (x)

wird überwiegend im amerikanischen Sprachraum verwedet. Hat sich aber aufgrund des Trugschlusses, es handle sich dabei um

\frac{1}{sin (x)}

im Europäischen nicht bewährt

(f^{- 1} (x)

wird ja unglücklicherweise auch für Umkehrfunktionen verwendet - deswegen

{sin}^{- 1} (x) -

ist aber nicht

\frac{1}{f (x)})

. Deswegen würde ich auf die Frage mit "Nein" antworten.

2)

Wie hast du es denn abgeleitet?

3)

Hmm.. das muss man wohl am Einheitskreis beweise... Ich habe dir dafür eine Zeichnung erstellt.

[

AC] sei das

x

. Die zugehörige ( rote ) Bogenlinie ist der arctan(x), weil ja arctan(tan(x))=x ist. Der Kosinus der Arkustangens ist grün (Ankathete durch Hypotenuse). Übrigens... bhetrachte es als Einheitskreis .. ich habe halt einfach die Einheit 2 gewählt... weil man hie rnicht zoomen kann und der kreis sonst zu klein wäre...Laut dem Strahlensatz gilt:

\frac{0 B}{0 C} = \frac{0 D}{0 A}

Das heißt, cos(arctan(x)

= \frac{1}{\sqrt{1^{2} + x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

artiiK aktiv_icon

15:46 Uhr, 25.03.2011

es gab einen fehler beim hochladen der zeichnung... tut mir leid... aber versuch es die einfach mnnal am einheitskreis klarzumachen...

Prima5 aktiv_icon

16:10 Uhr, 25.03.2011

Hey, danke!
Ihr habt mir super weitergeholfen!
Echt klasse!

Shipwater aktiv_icon

16:12 Uhr, 25.03.2011

@ artiiK
http//de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Prima5 aktiv_icon

16:29 Uhr, 25.03.2011

Mist, jetzt fehlt mir schon wieder der Ansatz, wenn ich tan(arcsin(x)) umschreiben will.

tan (x) =

(sinx)/(cosx) hilft mir da nicht viel, oder? Ich muss ja jetzt versuchen

tan

in irgendeiner weiße mit dem sinus auszudrücken, oder? damit ich es nachher besser zusammenfasssen kann!

aber da stehe ich schon wieder auf dem schlauch

= (

habt ihr noch mal nen Ansatz, wie ich das umschreiben kann. also tan(arcsin(x))? ( rauskommen soll

: \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Shipwater aktiv_icon

16:36 Uhr, 25.03.2011

tan (x) = \frac{sin (x)}{cos (x)} = \frac{sin (x)}{\sqrt{1 - {sin}^{2} (x)}}

Der Rest ist dann wohl klar.

Prima5 aktiv_icon

16:38 Uhr, 25.03.2011

achjau wie dumm. das hatte ich schon aber habe falsch weitergedacht. danke ;-)

Shipwater aktiv_icon

16:40 Uhr, 25.03.2011

Gern geschehen.

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