Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Arg(z) berechnen

Arg(z) berechnen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

amh1993 aktiv_icon

16:28 Uhr, 13.03.2016

Hallo:-)
zuerst die Aufgabenstellung:

Sei

z = 2 \cdot \frac{1 + i}{\sqrt{3} + i}

(1)

Berechnen Sie Re(z)

(2)

Berechnen Sie

| 1 + i |, | \sqrt{3} + i |

uns

| z |

(3)

Berechnen Sie Arg

(1 + i),

Arg

(\sqrt{3} + i)

und Arg

(z)

.

zu

(1) :

2 \cdot \frac{1 + i}{\sqrt{3} + i} \cdot \frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{3} - i} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3} - i + i \cdot \sqrt{3} + 1}{4} = \frac{\sqrt{3} - i + i \cdot \sqrt{3} + 1}{2} \Rightarrow

Re(z)=

\frac{\sqrt{3} + 1}{2}

(2) :

| 1 + i | = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

| \sqrt{3} + i | = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = 2

| z | = | 2 \cdot \frac{1 + i}{\sqrt{3} + i} | = 2 \cdot | \frac{1 + i}{\sqrt{3} + i} | = 2 \cdot \frac{| (1 + i) |}{| (\sqrt{3} + i) |} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

Die ersten zwei Aufgaben habe ich denke ich hinbekommen, falls ich da nicht ganz falsch gedacht habe, die habe ich nur mit aufgeschrieben, weil ich die bei der

(3)

glaube ich benutzen kann.

zu

(3) :

hier brauche ich ganz dringend hilfe. Ich würde jetzt entweder so rechnen:
Arg

(1 + i) = cos (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{π}{4}

Arg

(\sqrt{3} + i) = cos (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{6}

oder:
Arg

(1 + i) = cos (α) = \frac{1}{\sqrt{2}}

Arg

(\sqrt{3} + i) = cos (α) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Also wie genau berechne ich das?

Und zu

(3)

Es gilt: Arg (zw) =Arg

(z)

+Arg (w)

,

gilt dann auch: Arg

(\frac{z}{w})

=Arg (z)

-

Arg

(w)

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

16:48 Uhr, 13.03.2016

(1)

und

(2)

hast du richtig.

Bei

(3)

ist es zunächst ungewöhnlich, aber nicht falsch, dass du die Kosinusfunktion verwendest.

Für

z = a + i \cdot b

ist aber

a r g (z) = a r c c o s (\frac{b}{| z |})

und das auch nur für

b > 0,

aber das ist bei dir ja der Fall.

Üblicherweise verwendet man

a r g (z) = a r c t a n (\frac{b}{a})

und hier gilt das so nur für

a > 0

(und auch das ist bei deinen Beispielen der Fall).

Bei deinen beiden Ansätzen hast du jeweils Fehler.

Beim ersten Ansatz musst du anstelle von

cos

eben

a r c c o s

schreiben (bitte NICHT

{cos}^{- 1},

auch wenns so am TR steht).

Beim zweiten Ansatz ist das mittlere "=" nicht angebracht. Du könntest etwa schreiben

a r g (1 + i) = α \to cos (α) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow α = a r c c o s (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{π}{4}

.

Die Phasen

\frac{π}{4}

und

\frac{π}{6}

sind jedenfalls richtig.

>

gilt dann auch: Arg

(\frac{z}{w})

=Arg (z)

-

Arg

(w)

?
Ja, das gilt so. Du kannst also bei Kenntnis der beiden Argumente

\frac{π}{4}

und

\frac{π}{6}

sofort das Argument von

z

mit

\frac{π}{12}

angeben, der Faktor 2 ändert ja nur etwas am Betrag, aber nichts am Argument.

R

amh1993 aktiv_icon

16:59 Uhr, 13.03.2016

ok, danke :-)

zu

(3) :

also beachte ich die 2 beim argument eigentlich nicht? weil wenn ich die 2 dazu rechne, also:

2 \cdot (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) = 2 \cdot \frac{π}{12} = \frac{π}{6}

Roman-22

17:15 Uhr, 13.03.2016

Nein, der Faktor 2 hat keinen Einfluß auf die Lage, den Winkel, die Phase des komplexen Zeigers. Bloß seine Länge, sein Betrag wird verdoppelt, aber das ändert nichts am Winkel, also dem Argument.

Du hast ja selbst geschrieben

a r g (w \cdot z) = a r g (w) + a r g (z)

.
Jetzt nimm für

w

die reelle Zahl

2,

die ja das Argument 0 hat

\to a r g (2 \cdot z) = a r g (2) + a r g (z) = 0 + a r g (z) = a r g (z)

R

1295820

1295805

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?