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Tags: reflexiv, transitiv

 
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malvi

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21:23 Uhr, 14.10.2009

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Hallo!
könnte mir jemand genau erklären was eine reflexive und eine transitive Relation ist, mit den ganzen definitionen im inet komme ich nciht klar, wäre schln wenn mir das jemand so erklären dann dass ich die ganzen zeichen dafür verstehen und so, ich hab nämlich noch nie was davon gehört

liebe grüße
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Sina86

Sina86

23:22 Uhr, 14.10.2009

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Hi malvi,

eine Relation ist im Allgemeinen einfach irgendeine Beziehung zwischen zwei mathematischen Objeten (z.B. Zahlen oder Mengen). Diese Beziehungen können manchmal einige Eigenschaften erfüllen, wichtige Eigenschaften haben besondere Namen. Darunter fallen z.B. Reflexivität und Transitivität (an die Namen muss man sich halt gewöhnen :-) ). Es gibt noch weitere Eigenschaften, wie z.B. Symmetrie und Antisymmetrie. Aufgrund der Eigenschaften, die Relationen besitzen, kann man sie in verschiedenen Kategorien einteilen (z.B. Äquivalenzrelationen, Ordnungsrelationen etc.)

Reflexivität steht im Allgemeinen dafür, dass ein Objekt bezüglich sich selbst diese Beziehung erfüllt.
z.B.:
Seien A:={1,2}, B:={2,3}, C:=ℝ\(A∪B) 3 Teilmengen der reellen Zahlen. Nun können wir auf diesen reellen Zahlen zwei Relationen definieren:
x∼<y⇔x<y (also x steht in Relation zu y, wenn x echt kleiner ist als y)
x∼1y⇔x,y∈A∨x,y∈B∨x,y∈C (also x steht in Relation zu y, wenn beide in A, oder B, oder C liegen... das ∨ bezeichnet ein "oder").

Nun können wir die Reflexivität hier testen. Dafür müssen wir nachweisen, dass jedes Element der Grundmenge (also der Menge, die wir mit der Relation versehen, hier also die reellen Zahlen) mit sich selbst in Beziehung steht.
x∼<x⇔x<x
Dies ist eine falsche Aussage (für alle reellen Zahlen x), denn keine reelle Zahl x ist echt kleiner als sie selber. Deswegen steht x nicht in Relation zu sich selber und diese Relation ist daher nicht Reflexiv.

Allerdings gilt:
x∼1x⇔x,x∈A∨x,x∈B∨x,x∈C⇔x∈A∨x∈B∨x∈C, dies ist für alle reellen Zahlen wahr, daher ist die Relation ∼1 reflexiv.

Bei der Transitivität geht es quasi um die Vererbarkeit der Relation, denn es wird wieder für alle Elemente der Grundmenge gefragt, wenn x zu y in Relation steht, und y zu z, ob dann auch x zu z in Relation steht. Z.B.
x∼<y∧y∼<z⇔x<y∧y<z⇔x<y<z⇔x<z⇔x∼<z (das ∧ steht hier für "und").
Diese Relation ∼< ist also transitiv.

Jedoch gilt für 1,2,3:
1∼12, da 1,2∈A und es gilt 2∼13, da 2,3∈B, jedoch gilt nicht, dass 1∼13, denn 1∉B bzw 3∉A
Wichtig ist hier auch, dass es genügt, eine Gruppe von Objekten zu zeigen, für die die Transitivität nicht gilt, damit die Relation diese Eigenschaft nicht besitzt. z.B. sind alle Elemente aus der Menge C transitiv zueinander. Es muss aber für alle Elemente der Grundmenge gelten und ich finde welche, für die das nicht gilt.

Gruß
Sina
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