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Arithmetische Folgen

Schüler

Tags: Arithmetische Folge

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09:16 Uhr, 11.04.2011

Habe ein kleines Problem bei folgender aufgabe:

Berechnen die die Summer aller positiven ganzen Zahlen von je maximal drei Ziffern, welche auf 2 oder 7 enden.

also meine idee war.

Alle pos. ganzen Zahlen von

max

. drei Ziffern sind

1000 (1

bis

999) .

2 und sind 2 von

10

also

\frac{1}{5},

also

1000 : 5 = 200

a_{k} = \frac{1}{2} n (a_{1} + a_{n}) = \frac{1}{2} \cdot 200 (2 + 997) = 99900

es soll aber

49800

raus kommen.

Danke schon mal für die hilfe.

mfg
ich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

09:56 Uhr, 11.04.2011

...ich komme auf's Gleiche:

Summe aller Zahlen bis

999

die auf 2 enden:

\sum_{n = 0}^{99} 10 \cdot n + 2

Summe aller Zahlen bis

999

die auf 7 enden:

\sum_{n = 0}^{99} 10 \cdot n + 7

Gesamtsumme:

\sum_{n = 0}^{99} 10 \cdot n + 2 + \sum_{n = 0}^{99} 10 \cdot n + 7

= \sum_{n = 0}^{99} 20 \cdot n + 9

= 20 \cdot \sum_{n = 0}^{99} n + 9 \cdot \sum_{n = 0}^{99} 1

= 20 \cdot \frac{99}{2} \cdot 100 + 9 \cdot 100 = 999 \cdot 100 = 99900

(passt auch, wenn man's nur abschätzt - also rund

\frac{1}{5}

der Gesamtsumme aller Zahlen.

;-)

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10:38 Uhr, 11.04.2011

thx...

wie kommt man dann auf:

\sum_{n = 0}^{99} 10 \cdot n + 2

ich kapier nicht ganz warum das denn die summer de zaheln die auf 2 enden ist??

Edddi aktiv_icon

10:58 Uhr, 11.04.2011

2 + 12 + 22 + ... + 92 + 102 + 112 + ... + 192 + 202 + ... + 992

= 2 + (0 \cdot 10) + 2 + (1 \cdot 10) + 2 + (2 \cdot 10) + ... + 2 + (99 \cdot 10)

;-)

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11:24 Uhr, 11.04.2011

- . -

oh man... darauf muss man auch erst mal kommen.

ich frage mich aber immer noch warum in dem Buch mit dem ich arbeite ein komplat anderes Ergebniss raus kommt.

- . -

Die zwei nachfolgenden Aufgaben sind sehr änlich und ich bekomme da auch an anderes ergebniss als die musterlösung...

ein Beispiel:

Summe aller positiver Zahlen von je vier Ziffern, welche auf 2 oder 7 enden.

(jetzt versuch ich das mal so wie du :-))

Summe aller Zahlen bis

9999

die auf 2 enden

\sum_{N = 0}^{999} 10 \cdot n + 2

Summe aller Zahlen bis

9999

die auf 7 enden

\sum_{N = 0}^{999} 10 \cdot n + 7

Gesamtsumme

\sum_{N = 0}^{999} 10 \cdot n + 2 + \sum_{N = 0}^{999} 10 \cdot n + 7 = \sum_{N = 0}^{999} 20 \cdot n + 9 = 20 \cdot \sum_{N = 0}^{999} n + 9 \cdot \sum_{N = 0}^{999} 1 = 20 \cdot \frac{999}{2} \cdot 1000 + 9 \cdot 1000 = 9990 + 9000 = 18990

(wobei ich den letzten schritt mit dem summenzeichen nicht ganz versteht, wo kommt da auf ein mal das zweite summenzechen her?)

laut Musterlösung kommt aber

9899100

raus

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11:24 Uhr, 11.04.2011

- . -

oh man... darauf muss man auch erst mal kommen.

ich frage mich aber immer noch warum in dem Buch mit dem ich arbeite ein komplat anderes Ergebniss raus kommt.

- . -

9999

die auf 2 enden

\sum_{N = 0}^{999} 10 \cdot n + 2

Summe aller Zahlen bis

9999

die auf 7 enden

\sum_{N = 0}^{999} 10 \cdot n + 7

Gesamtsumme

\sum_{N = 0}^{999} 10 \cdot n + 2 + \sum_{N = 0}^{999} 10 \cdot n + 7 = \sum_{N = 0}^{999} 20 \cdot n + 9 = 20 \cdot \sum_{N = 0}^{999} n + 9 \cdot \sum_{N = 0}^{999} 1 = 20 \cdot \frac{999}{2} \cdot 1000 + 9 \cdot 1000 = 9990 + 9000 = 18990

(wobei ich den letzten schritt mit dem summenzeichen nicht ganz versteht, wo kommt da auf ein mal das zweite summenzechen her?)

laut Musterlösung kommt aber

9899100

raus

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11:38 Uhr, 11.04.2011

\sum_{i = 1}^{n} k

\sum_{i = 1}^{n} (k \cdot 1)

k \cdot \sum_{i = 1}^{n} 1

= k \cdot (1 + 1 + ... + 1 + 1 + 1)

= k \cdot n

...und so wie dus gemacht hast kommt man auf:

\sum_{n = 0}^{999} 10 \cdot n + 2 + \sum_{n = 0}^{999} 10 \cdot n + 7

= \sum_{n = 0}^{999} 20 \cdot n + 9

= 20 \cdot (\frac{999}{2}) \cdot 1000 + 9 \cdot 1000 = 9990 \cdot 1000 + 9 \cdot 1000 = 9999 \cdot 1000 = 9999000

...hier hattest du eine Rechenfehler drin!!

..da hier die Summe von "je 4 Ziffern" und nicht von "maximal 4 Ziffern" gesucht ist, musst du alle Zahlen "bis maximal 3 Ziffern" noch davon abziehen (hatten wir ja schon berechnet)

N = 9999000 - 99900 = 9899100

...da jetzt das Ergebnis mal mit dem deiner Musterlösung übereinstimmt, können wir davon ausgehen, das die erste Lösung in deinem Buche wohl falsch war.

;-)

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12:10 Uhr, 11.04.2011

ich find es immer wieder toll wie hilfsbereit die leute hier sind!!!!
Danke auf jeden fall schon mal für die hilfe.

jetzt habe ich trotzdem noch eine kleine frage.

\sum_{n = 0}^{99} 20 \cdot n + 9 = 20 \cdot \sum_{n = 0}^{99} n + 9 \cdot \sum_{n = 0}^{99} 1

diesen schritt verstehe ich nicht. woher kommt das zweite summenzeichen?

Edddi aktiv_icon

12:18 Uhr, 11.04.2011

...stand in meinem vorigen Beitrag.

Es gilt:

\sum a + b = \sum a + \sum b

Somit

\sum_{n = 0}^{99} 20 \cdot n + 9 = \sum_{n = 0}^{99} 20 \cdot n + \sum_{n = 0}^{99} 9 = \sum_{n = 0}^{99} 20 \cdot n + \sum_{n = 0}^{99} 9 \cdot 1

= 20 \cdot \sum_{n = 0}^{99} n + 9 \cdot \sum_{n = 0}^{99} 1

...und da

\sum_{a}^{b} 1 = (1 + 1 + ... + 1) = b - a + 1

= 20 \cdot (\frac{99}{2}) \cdot 100 + 9 \cdot 100

= 10 \cdot 99 \cdot 100 + 9 \cdot 100 = 999 \cdot 100

;-)

netcrack aktiv_icon

12:30 Uhr, 11.04.2011

Danke noch mal... du hast mir echt weiter geholfen :-)

schönen Tag wünsch ich noch.

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