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Arithmetische Reihe aus Textaufgabe

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Arithmetische Reihe, Gruppen

Seyquenty aktiv_icon

12:52 Uhr, 29.07.2012

Hallo,
ich hocke gerade an einer recht einfachen Aufgabe, die mich allerdings doch stark ins grübeln gebracht hat.
Folgende Textaufgabe ist gegeben:

100

Brote sollen unter 5 Personen so verteilt werden, dass die 5 Brotportionen eine arithmetische Folge bilden. Die Summe der beiden kleinsten Portionen beträgt

\frac{1}{7}

der Summe der drei größten Portionen.

Geben Sie die Portionen einzeln an, und machen Sie die Summenprobe. Geben Sie an, wie viele Brote mindestens zerschnitten werden müssen und wie dies zu geschehen hat. Rechnen Sie dazu in Brüchen.

Meine Überlegungen:
Gegeben= Anzahl der Gruppen

n = 5;

Sn=100;

a 1 + a 2 = \frac{1}{7} (a 3 + a 4 + a 5)

Gesucht ist

a 1 - a 5

einzeln aufgelistet.
Rechnung:

a 3 + a 4 + a 5 = X

a 1 + a 2 = \frac{1}{7} X

daraus ergibt sich:

1 X + \frac{1}{7} X = 100

1 \frac{1}{7} X = 100

X = \frac{175}{2}

Jetzt habe ich zumindest schonmal

X = \frac{175}{2}

und

\frac{1}{7} X = \frac{25}{2}

Hier komme ich ins stocken, wie kann ich jetzt weiter rechnen um die 5 Portionen zu berechnen. Ich benötige ja zumindest noch

a 1

oder

a 5!

?
Schonmal besten Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

13:15 Uhr, 29.07.2012

Dir fehlt noch im Ansatz:

a_{k} = (k - 1) \cdot d + a_{1}

.
Damit wird

a_{1} + a_{2} = 2 a_{1} + d

a_{3} + a_{4} + a_{5} = 3 a_{1} + 9 d

Die weiteren Bedingungen an die jetzt nur noch zwei Unbekannten

a_{1}

und

d

lauten dann:

(1) 2 a_{1} + d = \frac{1}{7} \cdot (3 a_{1} + 9 d)

(2) 5 a_{1} + 10 d = 100

Wenn man

(1)

umformt (beide Seiten mal 7 und alles auf die linke Siete bringen), ergibt sich

(3) 11 a_{1} - 2 d = 0

Jetzt erhält man aus

(2) + 5 \cdot (3) :

60 a_{1} = 100,

also

a_{1} = \frac{5}{3}

und damit durch Einsetzen in

(3) :

d = \frac{11}{2} a_{1} = \frac{55}{6}

Insgesamt erhält man also

a_{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}, a_{2} = \frac{65}{6} = 10 \frac{5}{6}, a_{3} = 20, a_{4} = \frac{175}{6} = 29 \frac{1}{6}, a_{5} = \frac{115}{3} = 38 \frac{1}{3}

.
Offenbart genügt es (und ist auch mindestens erforderlich), ein Brot in

\frac{1}{3} + \frac{2}{3}

und ein weiteres in

\frac{1}{6} + \frac{5}{6}

zu zerteilen und ansonsten ganze Brote zu verwenden.

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