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Arithmetische Reihe, vollständige Induktion

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14:29 Uhr, 25.11.2010

Hallo,

ich habe foglendes Problem:

n

s (n) =

∑

(i \cdot d + a 0)

mit

d, a 0

∈

R

i = 0

Beweise per vollständiger Induktion, dass gilt:

s (n) = (n + 1) (a 0 + (d \frac{n}{2}))

IA)

n = 0, i = 0,

aber was ist mit

d

und a0?? kann ich mir hier Zahlen aussuchen?
IV) Die Aussage gelte für ein beliebiges, festes

n

.
IS)

n - \to n + 1

gleiches Problem... was mache ich mit

d

und a0???

Vielen Dank!

kalli

14:55 Uhr, 25.11.2010

Hallo,

a_{0}

und

d

sind Konstanten.

Bei Deiner Aufgabe gilt doch:

s (n) = \sum_{i = 0}^{n} (i \cdot d + a_{0})

mit

d, a_{0} \in ℝ

.

Für

n = 0

ergibt sich:

s (0) = 0 \cdot d + a_{0} = a_{0}

.

Die Behautung lautet:

s (n) = 0 \cdot d + a_{0} = a_{0}

s (n) = (n + 1) \cdot (a_{0} + d \cdot \frac{n}{2})

s (0) = (0 + 1) \cdot (a_{0} + d \cdot \frac{0}{2}) = a_{0}

.
Damit folgt die Behauptung für

n = 0

.

Ebenso musst Du

a_{0}

und

d

als Konstanten beim Induktionsschritt behandeln und schauen, ob die Behauptung stimmt.

Dabei musst Du die Summe bis

n + 1

aufspalten in die Summe bis

n

und dem letzen Summanden

(n + 1)

. Dann kannst Du die Behauptung einsetzen und umformen.

LG

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15:12 Uhr, 25.11.2010

Hallo,

das hat mir schon sehr geholfen!
Wäre dann also wenn

n \to n + 1

geht

n + 1

(i \cdot d + a 0) =

(i \cdot d + a 0) + (n + 1)

i = 0

= (n + 1) (a 0 + (d \frac{n}{2}) + (i \cdot

d+a0)+(n+1)???

kalli

15:27 Uhr, 25.11.2010

Ich denke dass Dein Ansatz in Ordnung ist, da ich mit Deiner schreibweise probleme habe, schreib ich es nochmal sauber auf:

s (n) = \sum_{i = 0}^{n + 1} (i \cdot d + a_{0})

= \sum_{i = 0}^{n} (i \cdot d + a_{0}) + ((n + 1) \cdot d + a_{0})

= (n + 1) \cdot (a_{0} + d \cdot \frac{n}{2}) + ((n + 1) \cdot d + a_{0})

Nun musst Du zeigen, dass dies genau das gleiche ist,
wie

s (n + 1) = (n + 2) (a_{0} + d \cdot \frac{n}{2})

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15:51 Uhr, 25.11.2010

Sorry ich weiß nicht wie man die Zeichen sauber schreiben kann. Trotzdem vielen Dank dass du mir trotz der Hieroglyphen hilfst.

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15:53 Uhr, 25.11.2010

Danke!

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