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Arithmetischer Mittelwert eines Dreiecks

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Lagemaße bestimmen, Verteilungsdichte

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16:13 Uhr, 19.01.2010

Hallo,

wie berechnet man den Arithmetischen Mittelwert (siehe Bild)?
Vom Rechteck ist das kein Problem, jedoch beim Dreieck muss man den Schwerpunkt auf die X-Achse verschieben und da hört mein Latein auf.

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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16:25 Uhr, 19.01.2010

hallo,

der mittelwert

m

ist definiert als

m = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

in anderen worten

flaeche des dreiecks (die ist

\frac{1}{2})

geteilt durch untere breite (das ist

1)

.

ist dann also

m = \frac{1}{2} : 1 = \frac{1}{2}

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16:36 Uhr, 19.01.2010

Vielen Dank für die schnelle Antwort Moklok!

Klingt sehr Plausibel, jedoch kommt das mit dem Ergebniss nicht hin.

Der Arithmetische Mittelwert des Rechtecks und des Dreicks liegt bei:

7.58333333333333

(Richtiges Endergebnis)

Also vom Rechteck liegt der Mittelwert bei:

9.5 \cdot 0.5

+

Mittelwert vom Dreieck:

(\frac{1}{2}

????)

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16:42 Uhr, 19.01.2010

ahh,

ich dachte du suchst nur nach dem mittelwert des dreiecks.

also wenn du den mittelwert von beiden haben willst, muss noch mehr in der aufgabenstellung stehen. von wo bis wo der mittelwert gebildet werden soll...

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16:47 Uhr, 19.01.2010

Hier die mal die Aufgabenstellung:

"Die Abbildung zeigt die Verteilungsdichte einer kontinuierlichen Größe

x

.
Bestimmen Sie dazu den arithmetischen Mittelwert."

Arithmetischer Mittelwert

= 7.58333333333333

Mehr Informationen stehen nicht zur Verfügung.

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17:35 Uhr, 19.01.2010

so, jetzt habe ich mir das zusammengereimt.

mit arithmetischen mittelwert ist der mittelwert der ortsabhaengigen Flaechenpunkte in x-richtung gemeint...

also auf deutsch, der schwerpunkt in x-richtung.

der schwerpunkt des dreiecks liegt bei (wenn das dreieck bei

x = 0

beginnt)

\frac{1}{A} \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) d y d x

wobei A die flaeche des dreiecks ist, und

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

ein vektor auf die einzelnen flaechenpunkte.

uns interessiert ja nur die x-richtung. also

\frac{1}{A} \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x d y d x

die flaeche A ist ja

0,5

also

2 \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x d y d x

= 2 \int_{0}^{1} x \cdot x d x = 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x

= 2 {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{1} = \frac{2}{3} \cdot 1^{3}

= \frac{2}{3}

du hast fuer das dreieck also einen schwerpunkt bei

\frac{2}{3}

. achtung das dreieck beginnt aber nicht bei null sondern bei 5. also 5 dazuaddieren.

5 + \frac{2}{3}

der schwerpunkt vom rechteck lag bei

9,5

. und die mitte von beiden ist

\frac{5 + \frac{2}{3} + 9,5}{2} = 7,58333333

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18:15 Uhr, 19.01.2010

Wow, du bist echt ein Crack ;-) Danke!!!

Habe jedoch nochmal eine andere Aufgabe gerechnet und komme da nicht auf das exakte Ergebnis (siehe bild

2)

.

komme dann auf:

1.25 \cdot \frac{1}{3} = 0.4166 ~

dann habe ich

: \frac{1 + 0.4166 ~ + 4}{2} = 2.70833 ~

Das richtige Ergebnis ist allerdings:

2.66666666666667

Was mache ich noch falsch?

Vielen Dank nochmal!

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18:50 Uhr, 19.01.2010

also,

schwerpunkt des rechtecks liegt bei 4. das ist ja trivial.

zum dreieck

flaeche des dreiecks ist

0.8 \cdot \frac{2}{2} = 0.8 = \frac{4}{5}

(hoehe mal breite geteilt durch zwei)

so der schwerpunkt liegt bei (wieder wenn das dreieck bei null beginnt)

\frac{1}{A} \int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{2}{5} x} x d y d x

also wir integerieren in

y

richtung immer hoch bis

\frac{2}{5} x

(denn

\frac{2}{5}

ist die steigung vorne am dreieck) und wir integrieren in x-richtung bis 2. noch

A = \frac{4}{5}

eingesetzt.

\frac{5}{4} \int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{2}{5} x} x d y d x

\frac{5}{4} \int_{0}^{2} {[x y]}_{0}^{\frac{2}{5} x} d x

\frac{5}{4} \int_{0}^{2} \frac{2}{5} x^{2} d x

\frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^{2} d x

\frac{1}{2} {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{2}

\frac{1}{6} 2^{3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

da ist dein schwerpunkt fuer das dreieck, aber wieder achtung. das beginnt ja nicht bei null sondern bei 1. also

1 + \frac{4}{3}

mitte von dreieck und rechteck sind dann (Achtung gewichteter mittelwert, da jetzt die flaechen von dreieck und rechteck unterschiedlich gross sind, also noch mit deren Flaechen gewichten, flaecheDreieck=

\frac{4}{5}

und flaecherechteck=1/5)

\frac{(\frac{4}{5} \cdot (1 + \frac{4}{3})) + \frac{1}{5} \cdot 4}{2} = \frac{(\frac{4}{5} \cdot \frac{7}{3}) + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{28}{15} + \frac{12}{15}}{2} = \frac{40}{15} = 2.6666666

EDIT: ahh hab den fehler... ist oben verbessert.

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18:57 Uhr, 19.01.2010

wenn man genau hinguckt, sieht man, dass man sich bei einem rechtwinkligen dreieck merken kann, dass der schwerpunkt immer bei

\frac{2}{3}

der strecke auf der x-achse des Dreiecks zu nehmen ist.

ich bin ueberzeugt da gibt es irgendwelche fertigen formeln fuer.

lg

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17:30 Uhr, 20.01.2010

Ich bedanke mich bei dir Moklok

!!!

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