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Arkusfunktionen alle Ableitungen

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Tags: Ableitung funktion

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21:53 Uhr, 19.08.2017

Würde sehr gerne alle Funktionen Ableiten stehe nur mal wieder etwas auf dem schlauch:

(arcsin x)’ = (1/siny)’ = 1/cosy = 1/cos(arcsinx) = 1/sqrt(1-sin^2(arcsinx))=1/sqrt(1-x^2)

Verstehen tu ich den schritt 1 nicht so wirklich: (1/siny)’ denn arcsin

x

ist ja nicht gleich sinx^-1 das wäre dann der Sekans oder Kosekans!
Dann verstehe ich die Schritte 1/sqrt(1-sin^2(arcsinx))=1/sqrt(1-x^2) auch nicht wirklich.

Kann mir das vielleicht jemand erklären?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

22:03 Uhr, 19.08.2017

Das Prinzip ( Kurzfassung )

y = sin (x)

\frac{d y}{d x} = cos (x)

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{cos (x)} = \frac{1}{\sqrt{1 - {sin}^{2} (x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}

x

mit

y

vertauschen

x = sin (y) \Leftrightarrow y = a r c s i n (x)

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{cos (y)} = \frac{1}{\sqrt{1 - {sin}^{2} (y)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

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22:11 Uhr, 19.08.2017

Wieso ist sin²(x) eigentlich x²?

und weiß jemand wie ich den arctan(x) mit

sin (x)

und

cos (x)

ableiten kann?

Respon

22:14 Uhr, 19.08.2017

Wo siehst du

{sin}^{2} (x)

ist

x^{2}

a r c t a n

funktioniert nach dem gleichen Prinzip ( bzw. mit der Quotientenregel ).

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22:37 Uhr, 19.08.2017

Ich verstehe nicht wie man die arcusfunktionen anders schreibt.
Das Problem bei arctan(x) mit sinus(x) und

cos (x)

ist das ich nicht weiß wie der aussieht :-D)

also

tan (x) = \frac{sin (x)}{cos (x)}

so aber es soll ja der arctan(x) sein das ist ja nicht

{tan (x)}^{- 1}

das ist ja wieder eine andere Funktion deswegen wäre

\frac{1}{\frac{sin (x)}{cos (x)}}

auch nicht richtig!

- - -

x² steht doch unter der Wurzel ich weiß nicht wie man darauf kommt? da steht erst 1-sin²(x) und dann 1-x² wie kommt man darauf bzw. wieso ist das so?

danke für die nette Hilfe

=)

Respon

22:41 Uhr, 19.08.2017

du meinst wohl

1 - {sin}^{2} (y) \to 1 - x^{2}

Respon

22:44 Uhr, 19.08.2017

y = tan (x)

\frac{d y}{d x} = 1 + {tan}^{2} (x)

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{1 + {tan}^{2} (x)}

x

mit

y

vertauschen

x = tan (y) \Leftrightarrow y = a r c t a n x

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + {tan}^{2} (y)} = \frac{1}{1 + x^{2}}

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22:47 Uhr, 19.08.2017

genau wieso ist 1-sin²

\to

x² ?

und bei dem arctan soll man den

cos

und sin benutzen weißt du zufällig wie das gehen soll?

LG

Respon

22:49 Uhr, 19.08.2017

Lies genau

: 1 - {sin}^{2} (y) \to 1 - x^{2}

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22:51 Uhr, 19.08.2017

genau das verstehe ich ja nicht wieso ist das so?

Respon

22:52 Uhr, 19.08.2017

Lies nochmals genau die post von

22 : 03

. Dort steht es erklärt.

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22:56 Uhr, 19.08.2017

verstehe es trotzdem nicht ich lese mir das die ganze zeit durch.
ich verstehe deine Kurzbeschreibung auch einfach nicht!

Respon

23:38 Uhr, 19.08.2017

Anderer Weg:

y = a r c t a n (x)

[a r c t a n (x)]' =

tan (a r c t a n (x)) = x

Beide Seiten Ableiten ( Kettenregel ).

\frac{1}{{cos}^{2} (a r c t a n (x))} \cdot [a r c t a n (x)]' = 1

[a r c t a n (x)]' = {cos}^{2} (a r c t a n (x))

Was ist

{cos}^{2} (a r c t a n (x))

x = tan (a r c t a n (x))

x^{2} = {tan}^{2} (a r c t a n (x)) = \frac{{sin}^{2} (a r c t a n (x))}{{cos}^{2} (a r c t a n (x))} = \frac{1 - {cos}^{2} (a r c t a n (x))}{{cos}^{2} (a r c t a n (x))} = \frac{1}{{cos}^{2} (a r c t a n (x))} - 1

\Rightarrow x^{2} = \frac{1}{{cos}^{2} (a r c t a n (x))} - 1 \Rightarrow {cos}^{2} (a r c t a n (x)) = \frac{1}{1 + x^{2}}

\Rightarrow

[a r c t a n (x)]' = \frac{1}{1 + x^{2}}

( Eine analoge Methode läßt sich auch für

a r c s i n (x)

anwenden. )

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10:32 Uhr, 20.08.2017

uiii das ist ja mal wieder ein super Post das schaue ich mir nachher ganz genau an :-)

eine Frage hätte ich dabei nur noch hihi kann ich zu jeder Arcusfunktion wenn ich sie ableiten möchte die Normale Funktion voran schreiben ich weiß da geht es um das Bogenmaß und den Winkel.

Wenn ich also Arcsinus mache setzt man Sinus

[

arcsinus(x)]
Arccos cos

[

arccos(x)]

immer so weiter und dann mit Kettenregel eben ableiten.

Ich hoffe ich verstehe das jetzt auch langsam

=)

Respon

10:34 Uhr, 20.08.2017

Wenn du willst, kann ich dir noch schnell die Ableitung von

a r c s i n (x)

zeigen.

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10:37 Uhr, 20.08.2017

gerne.

misst glaube ich hab das oben nicht so ganz verstanden zeit mir das mal mit dem arcsin(x) vielleicht klappt das besser

=)

und was ist wenn da steht man soll den arctan(x) mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion und der bekannten Ableitungen des Sinus und Cosinus bestimmen.

LG

Respon

10:47 Uhr, 20.08.2017

{[a r c s i n (x)]}^{'} =

?
Wir verwenden nur "gesichertes Wissen" ( Wesen der Umkehrfunktion, Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen und Ableitungsregeln allgemein ).

sin (a r c s i n (x)) = x

Beide Seiten ableiten, links verwenden wir die bekannte Ableitung für sin und die Kettenregel

cos (a r c s i n (x)) \cdot {[a r c s i n (x)]}^{'} = 1

\Rightarrow

{[a r c s i n (x)]}^{'} = \frac{1}{cos (a r c s i n (x))} = \frac{1}{\sqrt{1 - {[sin (a r c s i n (x))]}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

( Was genau mit deiner zweiten Frage gemeint ist bez. sin und

cos,

weiß ich nicht.)

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11:44 Uhr, 20.08.2017

wow den arcsins(x) hab ich verstanden :-)
ich versuch mal noch den rest haben ja noch arccos(x) arccot(x) und die Hyp Funktionen :-)
wenn ich die heute mittag hin bekomme Poste ich das hier und dann schauen wir mal ob das soweit stimmt

=)

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