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Art der Unstetigkeit an x0 bestimmen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit, Unstetigkeit

Steeeve2 aktiv_icon

07:10 Uhr, 10.05.2012

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Hat die Funktikon $f$ an der Stelle $x_{0}$ eine Unstetigkeit; wenn ja, welche Art von Unstetigkeit liegt vor? (Begründung)

$f (x) = \frac{x^{3} + x^{2} - 9 x - 9}{x^{2} - 2 x - 3}$

$x_{0} = - 1$

Nun muss ich ja eine Grenzwertbetrachtung von oben und von unten machen.

1.Frage: Ich kann die Funktion ja auch wie folgt darstellen:

$\frac{(x + 3) (x + 1) (x - 3)}{(x + 1) (x - 3)}$

da würde sich ja $(x + 1)$ und $(x - 3)$ wegkürzen.

Darf ich das machen? Und dann von der übrig gebliebenen Funktion $(x + 3)$ die Grenzwertbetrachtung machen?

2.Frage: Ist es korrekt, wenn ich die Grenzwertbetrachtung dann wie folgt gestalte:
$(\in$ der Schule haben wir da immer mit einer Nullfolge $h$ gearbeitet)

$lim_{x ↑ - 1} (- 1 - h) + 3 = - 1 - h + 3 = 2$

$lim_{x ↓ - 1} (- 1 + h) + 3 = - 1 + h + 3 = 2$

$f (- 1) =$ existiert nicht , deshalb Lücke bei $x_{0}$

Falls ich falsch liege, würde ich gerne von jemanden den richtigen Lösungsweg haben wollen.

Danke vorab!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Paulus

07:28 Uhr, 10.05.2012

Hallo Steeve

die Funktion selber ist also gemäss deiner Umformung weder bei $x = - 1$ noch bei $x = + 3$ definiert. Aber überall dort, wo die Funktion definiert ist, kannst du tatsächlich wegkürzen.

Die Funktion ist somit im ganzen Definitionsbereich als $y = x + 3$ darstellbar.

Nun kannst du einfach in dieser Geradengleichung deine Definitionslücken einsetzen und erhältst damit eine stetige Funktion, nämlich die Gerade $y = x + 3$ .

Die Unstetigkeitsstellen sind also hebbar oder anders gesagt: die Funktion lässt sich auf ganz $ℝ$ stetig fortsetzen.

Gruss

Paul

Steeeve2 aktiv_icon

07:40 Uhr, 10.05.2012

Ich muss jetzt nochmal blöd nachfragen - Ich habe also eine Lücke bei $x_{0} = - 1$ ?

Oder ist es eine stetige Funktion (auch an der Stelle $x_{0} = - 1)$ ? Weil die Geradengleichung wäre ja an dieser Stelle definiert:

$y = x + 3$
$y = - 1 + 3 = 2$

Paulus

11:28 Uhr, 10.05.2012

Hallo Steeve

du has ZWEI Definitionslücken: eine bei $x = - 1$ und eine bei $x = 3$

(Weil dann ja der Nenner 0 wird (Zum Glück auch der Zähler))

Es lässt sich nur sagen, dass sich die Funktion stetig auf $ℝ$ fortsetzen lässt.

Man müsste die Funktion dann halt so definieren:

$f (x) = 2$ für $x = - 1$
$f (x) = 6$ für $x = 3$
$f (x) = \frac{x^{3} + x^{2} - 9 x - 9}{x^{2} - 2 x - 3}$ sonst

Wenn man stattdessen aber definiert:

$f (x) = 2$ für $x = 0$
$f (x) = 6$ für $x = 7$
$f (x) = \frac{x^{3} + x^{2} - 9 x - 9}{x^{2} - 2 x - 3}$ sonst

Dann ist diese Funktion auch auf GANZ $ℝ$ definiert, aber eben nicht stetig bei $x = - 1$ und bei $x = 3$

Alles klar?

Gruss

Paul

Steeeve2 aktiv_icon

14:45 Uhr, 10.05.2012

Hallo und Danke für die Antwort - aber welche Art der Unstetigkeit hab ich jetzt bei $- 1$ ? Wahrscheinlich eine Lücke - aber wie beweise ich das richtig?

Steeeve2 aktiv_icon

16:31 Uhr, 10.05.2012

Danke nochmal! Ich denke ich habs!

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