Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Assoziativität von Matrizen zeigen

Assoziativität von Matrizen zeigen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

anonymous

15:24 Uhr, 09.01.2010

Betrachten Sie die drei Matrizen

A \in M_{m, n} (ℝ), B \in M_{p, q} (ℝ), C \in M_{r, s} (ℝ)

und bestimmen Sie, für welche

m, n, p, q, r, s

die Ausdrücke

(A \cdot B) \cdot C

und

A \cdot (B \cdot C)

definiert sind. Zeigen Sie, dass in den zutreffenden Fällen die Gleichheit

(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C), d . h

. die Assoziativität der Matrixmultiplikation gilt.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- \to

Fälle:

n = p

und

q = r

müssen gelten, damit die Ausdrücke definiert sind.

Kann mir jmd. ne Variante vom Beweis der Assoziativität deR Matrixmultiplikation ohne großen Schreibaufwand zeigen? Oder kann man das nur durch diesen großen Schreibaufwand beweisen, also

(A \cdot B) \cdot C = [(A \cdot B) \cdot C] = [A \cdot B \cdot C] = [A \cdot (B \cdot C)] = A \cdot (B \cdot C)

Dabei müsst ihr euch die eckigen Klammern als Grenzen der Matrix vorstellen, das heißt das ich im 2. Schritt die Matrix von

A \cdot B

mit der Matrix von

C

multipliziere, dann im nächsten Schritt das Produkt hinschreibe und im darauffolgenden Schritt die Matrix A ausklammer, halt wie man sonst auch die Assoziativität zeigt.^^

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

15:33 Uhr, 09.01.2010

A beschreibt eine lineare Abbildung

ℝ^{n} \to ℝ^{m}

.
Man macht sich klar, dass das Matrizenprodukt der Hintereinanderausführung von Abbildungen entspricht,

d . h

. wenn A die Abbildung

f : ℝ^{n} \to ℝ^{m}

beschreibt und

B

die Abbildung

g : ℝ^{q} \to ℝ^{p} = ℝ^{n},

so beschreibt

A \cdot B

die Abbildung

f \circ g : ℝ^{q} \to ℝ^{m}

.
Die Assoziativität der Matrizenmultiplikation ist in diesem Sinne nichts anderes als die Assoziativität der Abbildungskomposition

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

anonymous

16:48 Uhr, 09.01.2010

Also könnte ich den Beweis wie folgt führen?

Definiere A als

f : ℝ^{n} \to ℝ^{m}, B

als

g : ℝ^{q} \to ℝ^{r}

und

C

als

h : ℝ^{s} \to ℝ^{r}

. Da die Multiplikation zweier Matrizen die Hintereinanderausführung zweier Abbildungen darstellt, stellt die Assoziativität der Matrizenmultiplikation "(A*B)*C = A*(B*C)" die Assoziativität der Abbildungskomposition

(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)

dar.

Beweis:

(f \circ g) \circ h = h (f \circ g) = h (g (f)) = (g \circ h) (f) = f \circ (g \circ h)

wär das ok so?

michaL aktiv_icon

12:30 Uhr, 10.01.2010

Hallo Dirk,

wenn du das für deinen Beweis verwenden willst, wirst du wahrscheinlich beweisen müssen, dass die Abbildung

φ : Hom (K^{m}, K^{n}) \to Mat,m,n,K

f \mapsto M_{B}^{B} (f)

ein Isomorphismus ist (dabei bedeutet

H o m (K^{m}, K^{n})

den Ring der linearen Abbildungen von

K^{m}

nach

K^{n}

Mat,m,n,K

den Matrizenring der

m

n

-Matrizen über dem Körper

K

und

M_{B}^{B} (f)

die

f

darstellende Matrix bzgl. der Basis

B

).
Die Basis

B

wird VORHER fest gewählt.

Der Beweis ist nicht wirkich schwierig, vielleicht ist er auch schon in der Vorlesung dran gewesen.
Die andere Möglichkeit wäre, das Element

x_{i, j}

der Ergebnismatrix von

A (B \cdot C)

und

(A \cdot B) C

mit Skalarprodukten darzustellen und so die GLeichheit zu beweisen. Das wäre tatsächlich umständlicher.
Mehr Ideen hätte ich dazu aber auch nicht.

Mfg Michael

705848

705395

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?