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Asymptoten, Tangente, Berührpunkt

Schüler

Tags: Berührpunkt, Koordinaten, senkrechte Asymptoten, Tangent, Waagrechte Asymptoten

anonymous

22:23 Uhr, 19.04.2015

Hallo,

Kann mir jemand von euch bei folgender Aufgabe helfen?

Gegeben ist die Funktion

f

mit

f (x) = \frac{8 - 8 \cdot x}{{(2 - x)}^{2}}

a)

Berechne die Asymptoten.

b)

Vom Punkt A(2;0)wird die Tangente an das Schaubild von

f

gelegt. Berechne die Koordinaten des Berührpunktes B.

zu

a)

da habe ich die senkrechte Asymptote

x = 2

. stimmt das?

bei der waagrechten Asymptote bin ich mir nicht sicher...

zu

b)

wie gehe ich hier vor?

Vielen Dank. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

22:33 Uhr, 19.04.2015

f (x) = \frac{8 - 8 x}{{(2 - x)}^{2}} = 8 \cdot \frac{- x + 1}{x^{2} - 4 x + 4}

" da habe ich die senkrechte Asymptote

x = 2

. stimmt das? "

. . \to

JA

"
bei der waagrechten Asymptote bin ich mir nicht sicher..."

\to

was hast du dir denn dazu schon überlegt ?

\to .

.
.

anonymous

22:37 Uhr, 19.04.2015

im zähler dachte ich kann man

x

ausklammern. im nenner vielleicht

x^{2} ...

? aber diese klammer im nenner verwirrt mich. wie mache ich das jetzt im nenner? danke und LG. :-)

ledum aktiv_icon

22:59 Uhr, 19.04.2015

Hallo
im Nenner steht ein Quadrat im Zähler nur

x,

was passiert dann wenn

x

sehr groß wird?
Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

22:59 Uhr, 19.04.2015

"
im zähler dachte ich kann man

x

ausklammern. im nenner vielleicht

x 2 ...

? "

.. ? ..du meinst also so

\to

8 \cdot \frac{- x + 1}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{x \cdot (- 8 + \frac{8}{x})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}})}

also

\to \frac{1}{x} \cdot \frac{- 8 + \frac{8}{x}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}

und wenn nun

| x | \to \infty

\Rightarrow

was passiert dann mit

\to \frac{- 8 + \frac{8}{x}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}

und was mit dem anderen Faktor

\frac{1}{x}

also: welchen Grenzwert bekommst du zB für:

\to lim_{x \to \infty} \frac{8 - 8 x}{{(2 - x)}^{2}} =

?

.

anonymous

23:02 Uhr, 19.04.2015

achso. du hast das unten mit der binomischen formel ausmultipliziert, richtig?

okay, ich dachte, das muss man nicht.

wie geht man bei der

b)

vor?

danke und LG.

rundblick aktiv_icon

23:16 Uhr, 19.04.2015

"
stimmt das bei mir
im nenner ".............

\to

nicht

!!

Vorschlag:

multipliziere doch einfach mal aus

\to x^{2} \cdot (\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x}) =,,

und vergleiche dann mit

{(2 - x)}^{2}

na ja

. .

. ?
.

anonymous

23:22 Uhr, 19.04.2015

ich habe insgesamt:

- \frac{8}{x}

raus.

wie gehe ich nun bei der 2.aufgabe vor?

vielen dank!

rundblick aktiv_icon

23:29 Uhr, 19.04.2015

- \frac{8}{x}

raus. "

toll .. aber :

DU SOLLTEST DOCH DIE WAAGRECHTE ASYMPTOTE rausFINDEN .. ??

.

anonymous

23:31 Uhr, 19.04.2015

das ist sie doch...? :-D)

rundblick aktiv_icon

23:38 Uhr, 19.04.2015

"
das ist sie doch...?"

\to

ganz und gar nicht

\to f (x) = - \frac{8}{x}

ist eine schöne Hyperbel ..

also alles andere als eine waagrechte Gerade namens Asymptote..

Tipp: aber diese Hyperbel hat die gleiche waagrechte Asymptote wie
deine gegebene Funktion

also

\to . .

.

?

anonymous

23:41 Uhr, 19.04.2015

\frac{1}{x} \cdot (- 8) = - \frac{8}{x}

so kam ich drauf. denn

\frac{8}{x}

und

\frac{4}{x^{2}}

und

- \frac{4}{x}

gehen gegen null. so bleibt das übrig.

wie gehe ich an die 2.aufgabe?

Danke

rundblick aktiv_icon

23:49 Uhr, 19.04.2015

"
so kam ich drauf. "

\to

und jetzt solltest du nur noch "draufkommen" ,
wohin das, "was übrig blieb" denn nun auch noch geht ?

.. dann hast du ein Erfolgserlebnis ..

ok?

\to

welches ist also die Gleichung der waagrechten Asymptote?

.

anonymous

07:45 Uhr, 20.04.2015

diese

- \frac{8}{x}

? die geht wahrscheinlich gegen 0 oder? und wie gehe ich an aufgabe 2 ran? vielen dank.

borni85 aktiv_icon

08:21 Uhr, 20.04.2015

Bei Aufgabe 2 müsstest du folgendes machen:
1. da der Punkt A nicht auf der Funktion liegt, hast du das Problem: Tangente von ausserhalb an eine Funktion
2. Bestimmt die Ableitung der Funktion

- \to

Denn wie du bestimmt weisst ist die erste Ableitung der Funktion der Anstieg
3. Nimm eine allgemeine Geradedengleichung

y = m \cdot x + n

4. mach dir mal eine skizze, dann wirst du folgendes sehen: Am Berührpunkt deiner Tangente ist

y = f (x)

5. schau dir die zeichnung mal an und dann werden wir konkreter :-)

borni85 aktiv_icon

08:36 Uhr, 20.04.2015

so soltle deine Zeichnung aussehen

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Respon

09:17 Uhr, 20.04.2015

Ausnahmsweise eine fertige Lösung ( wegen der "Panik" )

f (x) = \frac{8 - 8 \cdot x}{{(2 - x)}^{2}}

Tangente von

A (2 | 0)

zum noch unbekannten Berührpunkt

B (x_{B} | y_{B})

bzw. da ja

B

ein Punkt des Graphen ist,

B (x_{B} | \frac{8 - 8 \cdot x_{B}}{{(2 - x_{B})}^{2}})

Der Anstieg der Tangente läßt sich auf zwei Arten darstellen:

1)

Anstieg der Geraden durch A und

B : \frac{y_{B}}{2 - x_{B}}

bzw.

\frac{8 - 8 \cdot x_{B}}{{(2 - x_{B})}^{2} \cdot (2 - x_{B})} = \frac{8 - 8 \cdot x_{B}}{{(2 - x_{B})}^{3}}

2)

Anstieg der Tangente im Punkt

B

mit der ersten Ableitung.

f' (x) = \frac{- 8 \cdot x}{{(2 - x)}^{3}}

\Rightarrow f' (x_{B}) = \frac{- 8 \cdot x_{B}}{{(2 - x_{B})}^{3}}

Da beide so dargestellten Anstiege zu ein und derselben Tangente gehören, muss also gelten:

\frac{- 8 \cdot x_{B}}{{(2 - x_{B})}^{3}} = \frac{8 - 8 \cdot x_{B}}{{(2 - x_{B})}^{3}} \Rightarrow - 8 \cdot x_{B} = 8 - 8 \cdot x_{B} \Rightarrow x_{B} = \frac{1}{2}

Den dazugehörigen Funktionswert

y_{B}

erhält man, indem man

x_{B} = \frac{1}{2}

in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzt.

borni85 aktiv_icon

09:18 Uhr, 20.04.2015

so kann mans au machen, wollte ihn ein bisschen selbst drauf kommen lassen :-)

Respon

09:20 Uhr, 20.04.2015

Ja, aber da scheint eine wichtige Prüfung im Hintergrund zu "lauern".
Man beachte mein "ausnahmsweise".

anonymous

10:57 Uhr, 20.04.2015

da hast du recht, respon. :-) danke für deinen lösungsweg. ich wäre nicht auf deine vorgehensweise gekommen. das sieht ziemlich kompliziert aus.

: (

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