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Asymptoten,näherungskurven oder doch was anderes?

Schüler Berufliches Gymnasium,

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anonymous

22:18 Uhr, 25.05.2015

hallo liebe Mathe menschen :-)
Ich bin in der

12

Klasse und werde demnächst eine gfs über vielfacheit von nullstellen und naherungskurven halten. Soweit verstehe ich die Sache mit der vielfachheit. Aber mein Problem sind die näherungskurven

: S

bei der Suche nach diesem Thema kamen weiter Begriffe wie ASYMPTOTE und GEBROCHEN RATIONALE FUNKTIONEN , aber nichts mit näherungskurven

: S

Jetzt meine Fragen : sind asymtoten und näherungskurven das gleiche ? Oder sind näherungskurven,gebrochen rationale Funktionen ?

Übrigens: in Mathe bin ich nicht so stark :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Werner-Salomon aktiv_icon

23:24 Uhr, 25.05.2015

Hallo Antone94,

Asymptoten und Näherungskurven sind - ich sage mal im Prinzip - das gleiche. IMHO werden die Begriffe aber in unterschiedlichen Zusammenhang benutzt.
Eine Asymptote ist eine Kurve, der sich einer zweite Kurve (i.A. eine Funktion) im Unendlichen annähert. Da Asymptoten i.A. einfacher zu handhaben sind, als die ursprüngliche Kurve, kann man mit ihnen das Verhalten der ursprünglichen Kurve im Unendlichen oder bei Annäherung an einen Grenzwert besser beschreiben (Stichwort Kurvendiskussion).
Beispiel Hyperbel:

f (x) = \frac{1}{x}

In diesem Fall sind zwei Asymptoten vorhanden, die X- und Y-Achse. Wähle ich

x

sehr groß, so nähert sich das Verhalten an die Asymptote

f (x) = 0

an.

Eine Näherungskurve ist eine 'Näherung' einer gegebenen Kurve. Damit ist eine Asymptote immer eine Näherungskurve. Aber man spricht auch dann von einer Näherungskurve, wenn man eine Näherung nur für ein kleines begrenztes Intervall benötigt.
Angenommen da ist eine Funktion (mit komplizierter) Gleichung, die im Intervall von 5 bis 7 betrachtet werden soll. Wenn es dann gelingt eine Näherungskurve zu finden, die in diesem Bereich sich ganz ähnlich verhält, aber viel einfacher zu handeln ist, dann wählt man diese.
Beispiel: Newton-Verfahren - hier wird eine Näherungskurve (eine Gerade, bzw. lineare Funktion) bestimmt, die der Ausgangsfunktion in einem Punkt ähnlich ist (ihre Tangente). Und anschließend die Nullstelle berechnet, was mit der Ausgangsfunktion i.A. nicht direkt möglich ist.

Gebrochene rationale Funktionen haben fast immer Asymptoten im Unendlichen. Schau Dir dazu bitte die Bilder hier de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Funktion an. Die Asymptoten sind in diesem Fall immer Polynome.

Gruß
Werner

rundblick aktiv_icon

05:14 Uhr, 26.05.2015

.
"
sind asymtoten und näherungskurven das gleiche ? 2

\to

im weitesten Sinne

\to

ja

aber:

\to

gewöhnlich wird der Begriff "Asymptote" für

G e r a d e n

verwendet, denen sich
eine gegebene Kurve (zB an Polstellen usw.

. .)

annähert

\to

und der Begriff "näherungskurven" beschreibt allgemein asymptotische Kurven,
die (meist für

x \to \pm \infty)

den Verlauf einer geg. Funktion gut approximieren.

3 einfache Beispiele :

1) \to f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}

\to

hat die beiden Asymptoten

\to x = 1 .

. und

\to y = x + 1

2) \to f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} + 1}{x - 1} = x^{2} + \frac{1}{x - 1}

\to

hat die Asymptote

\to x = 1

und

\to

die asymptotische Kurve

y = x^{2}

3) \to f (x) = e^{x} + \frac{1}{x - 2}

\to

hat die beiden Asymptoten

\to x = 2

und

\to y = 0

und

\to

die asymptotische Kurve

y = e^{x}

ok?

Atlantik aktiv_icon

09:52 Uhr, 26.05.2015

f (x) = e^{x} + \frac{1}{x - 2}

Ich frage mich, warum

h (x) = \frac{1}{x - 2}

nicht auch als asymptotische Kurve erwähnt wird.

mfG

Atlantik

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