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Asymptotisches Verhalten einer Logarithmsfunktion

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Asymptoten, Funktion, Logarithmus

Gnauchy aktiv_icon

14:31 Uhr, 17.12.2011

Hallo,
ich soll das asymptotische Verhalten unterschiedlicher Funktionen bestimmen. Bei rationalen Funktionen ist das ja trivial, aber bei logarithmischen Funktionen sagt mein Instinkt: geht nicht. Aber ganz sicher bin ich mir da nicht.

Beispielsweise folgende Funktion:
f(x)=ln(

\sqrt{(x^{2} + 4)} - x

)
Für

x \to \infty

geht die Funktion gegen gegen minus unendlich und umgekehrt, das ist mir klar.
Bloß weiß ich nicht, wie ich zeigen kann, ob es eine Asymptote gibt, oder nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Logarithmusgesetze - Einführung

DerDepp aktiv_icon

14:42 Uhr, 17.12.2011

Hossa ;-)

Ich würde das Argument der Funktion mittels der 3-ten binomischen Formeln anders schreiben:

\sqrt{x^{2} + 4} - x = \frac{(\sqrt{x^{2} + 4} - x) (\sqrt{x^{2} + 4} + x)}{\sqrt{x^{2} + 4} + x} = \frac{x^{2} + 4 - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 4} + x} = \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 4} + x}

Jetzt wird klar, dass das Argument für

x \to \infty

gegen Null konvergiert, so dass die ln-Funktion gegen -Undendlich läuft...

Ok?

Gnauchy aktiv_icon

15:04 Uhr, 17.12.2011

Danke, das habe ich verstanden. Bleibt aber die Frage, ob die Funkion irgendeiner Asymptote beliebig nahe kommt.

Beispielsweise geht ja

f (x) = \frac{x^{2} + 3}{2 x} \to \infty f ü r x \to \infty

, aber sie nähert sich der Asymptote y=0.5x an.

Mein Ansatz wäre jetzt über die Ableitung:

f ʹ (x) = \frac{- 1}{\sqrt{x^{2} + 4}}

Aber da komme ich ja auch nur zu dem Ergebnis, dass diese beliebig klein wird für

x \to \infty

WIe kann ich aber zeigen, ob es eine Asymptote gibt?

vulpi aktiv_icon

14:33 Uhr, 19.12.2011

Hi, die DerDepp'sche Umformung ist cool, da sieht man viel bessser, was läuft :-)
Untechnisch gesprochen, spielt die 4 für

x \to \infty

keine Geige mehr, also wird

f

immer mehr zu

ln (\frac{4}{2 x}) = ln (\frac{2}{x})

ln (2) - ln (x)

müßte also die Funktion sein, der sich

f \to \infty

annähert

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