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Asymptotisches Wachstum von Funktionen

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Funktionenreihen

Tags: Asymptotisches Verhalten

MaaaathStuuudent aktiv_icon

18:14 Uhr, 19.03.2022

Hallo, ich habe folgende 6 Funktionen welche ich nach asymptotischem Wachstum ordnen muss:

1.

2 n l o g_{4} n

2 n^{2} - n

(2^{\frac{n}{2}}) l o g n

4 n l o g_{2} n

3 n \cdot \sqrt{n}

2^{n}

Ich hätte jetzt folgende Reihenfolge gewählt, ist das so richtig?

3 < 1 < 4 < 2 < 6 < 5 .

Danke schonmal im voraus !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

19:52 Uhr, 19.03.2022

Hallo
überleg noch mal: Exponentialfunktioneen wie

e^{x}

und

a^{x}

für

a > 1

wachsen alle schneller als alle

x^{n}

Gruß ledum

MaaaathStuuudent aktiv_icon

22:21 Uhr, 19.03.2022

Ok, danke schonmal für deine Antwort.
Hab es überarbeitet, bin mir aber noch sehr unsicher.
Ist das so richtig jetzt?

1<4<2<3<6<5

N8eule

14:20 Uhr, 20.03.2022

Hallo
überleg noch mal: Du hast jetzt schon zum zweiten mal die "5.)" ganz rechts eingeordnet.
Diese "5.)", ist das eher eine Exponentialfunktion oder eine Potenzfunktion?
Wenn Exponentialfunktion: Welche Basis?
Wenn Potenzfunktion: Welche Potenz?

MaaaathStuuudent aktiv_icon

19:36 Uhr, 20.03.2022

Ich hab die 5 ganz rechts eingeordnet da Wurzel n ja dominiert und am langsamsten wächst oder lieg ich da falsch?
Ich steh grad komplett auf dem Schlauch.

N8eule

21:58 Uhr, 20.03.2022

ganz rechts willst du ja offensichtlich die 'größte' Funktion anordnen. Deine Argumentation spricht nun aber ein "am langsamsten wächst" an...(?)

überleg noch mal: Du hast dich um die Frage gedrückt, ob es sich eher um eine Exponentialfunktion oder eine Potenzfunktion handelt...

N8eule

08:58 Uhr, 21.03.2022

um mal ein wenig voran zu kommen:

zu

5 .)

3 \cdot n \cdot \sqrt{n} = 3 \cdot n \cdot n^{\frac{1}{2}} = 3 \cdot n^{1,5}

Das ist eine Potenzfunktion. Die Potenz ist:

1,5

Tipp: das ist in der gesuchten Rangfolge an Wachstum weder die 'größte' noch die 'kleinste'.

Vorschlag:
Mach dir für die Funktionen

1 .) - 6 .)

doch erst mal klar, ob es sich eher um Potenz- oder Exponentialfunktionen handelt,
und wenn Potenzfunktion, dann um welche Potenz.
Das würde die Suche nach der Rangfolge sicherlich sehr voranbringend erleichtern.

(Keine Sorge, wir helfen ja. dort wo's vielleicht nicht ganz so eindeutig ist, kannst du ja mal beste Vorschläge machen. Wir werden schon nicht gleich den Kopf herunter reißen, sondern eben hoffentlich korrigierend eingreifen, wo nötig.)

MaaaathStuuudent aktiv_icon

10:25 Uhr, 21.03.2022

Das mit der Potenzfunktion leuchtet mir ein, ich orientiere mich immer an dieser O-Notation weshalb das mit dem "wachsen" vielleicht etwas verwirrend war:

"

O (1) < O (l o g n) < O (n) < O (n l o g n) < O (n^{2}) < O (n^{3}) < O (2^{n})

"

Reihenfolge: 1<4<2<3<5<6

Wenn das nicht stimmt dann weiß ich es leider nicht.

N8eule

11:40 Uhr, 21.03.2022

"Wenn das nicht stimmt, dann weiß ich es leider nicht."
Das würde uns ja nicht hindern, einfach mal nicht nur Theorien und Zahlencodes hin- und her- zu schieben, sondern auf eine dritte Aufforderung mal anzufangen, diese Denke auch zu festigen, zu begründen, zu verstehen lernen, zu begreifen.
Tipp:
zu

1 .)

Das ist im Wesentlichen eine lineare Funktion. So ganz sortenrein ist die ja nicht, weil eben ein Logarithmus-Term irritierend stört. Aber sei versichert, der Logarithmusterm ist absolut untergeordnet. Der lineare Term "n" ist dominierend.
zusammenfassend:
Der lineare Term

n = n^{1}

dominiert.
Das ist (so in etwa) eine Potenzfunktion. Die Potenz ist (so in etwa) 1. Na, ja eben nicht so ganz, eben wegen diesem Störglied 'Logarithmus'.
Aber sei versichert, die wächst auf jeden Fall weniger schnell, als eine Potenzfunktion mit Potenz

1,5

.

zu

2 .)

Das ist eine Potenzfunktion.
Die Potenz ist nicht schwer zu lesen. Sie beträgt:............

zu

3 .)

. .

.

Meinst du, wir könnten mal voran kommen?

Roman-22

12:02 Uhr, 21.03.2022

>

ich orientiere mich immer an dieser O-Notation
Das ist ja nicht unbedingt ein Fehler - du musst halt dann noch weiter differenzieren wenn du da was doppelt bekommst, zB mehrmals

O (n)

oder mehrmals O/exp(n)). Die O-Notation hilft bei der Aufgabe daher nur bedingt.

Du gibst für Bsp. 5 an

O (n^{3})

und hattest aber in deinem ersten Post für Bsp. 5 den Term

3 \cdot n \cdot \sqrt{n}

angegeben.
Wie passt das zusammen? Hattest du dich im Initialpost vertippt oder hast du Schwierigkeiten

n \cdot \sqrt{n} = n^{1} \cdot n^{\frac{1}{2}} = . .

. zusammenzufassen?

Dem Bsp.1

(2 \cdot n \cdot {log}_{4} n)

ordnest du offenbar

O (1)

zu!?

O (1)

bedeutet aber, dass der Term für große

n

beschränkt bleibt. Meinst du das wirklich?

MaaaathStuuudent aktiv_icon

17:35 Uhr, 21.03.2022

Nein ich ordne

2 n l o g_{4} n

nicht

O (1)

zu, sondern

O (n \cdot l o g n) .

Zu 2: Potenzfunktion, sie beträgt

2

.
Zu 3: Potenzfunktion, sie betragt

\frac{n}{2}

Zu 4: Selbe Begründung wie bei der

1

.
Zu 5: Potenzfunktion, sie beträgt

1, 5

.
Zu 6: Potenzfunktion, sie beträgt

n

HAL9000

17:49 Uhr, 21.03.2022

Nachfrage:

l o g_{4} n

bedeutet

\log_{4} (n)

, d.h., Logarithmus zur Basis 4, oder? Oder etwa doch

\log (4^{n})

? Kann man in deiner Schreibweise ganz schlecht auseinander halten.

N8eule

18:04 Uhr, 21.03.2022

2 .)

ja gut
zu

3 .)

nein, überleg nochmals besser
zu

4 .)

ja gut
zu

5 .)

ja gut
zu

6 .)

nein, überleg nochmals besser

auch ich gehe davon aus, dass das

1 .) 2 \cdot n \cdot {log}_{4} (n)

heissen wollte.
Streng genommen ist in

3 .)

auch nicht klar, welchen Logarithmus du meinst.
Ich denke mir:

3 .) 2^{\frac{n}{2}} \cdot ln (n)

(sch... Editor, in Worten: zwei hoch

n

Halbe)
Falls du nachkorrigieren willst, gerne. Für die Aufgabe macht's eh kaum einen Unterschied.

MaaaathStuuudent aktiv_icon

20:47 Uhr, 21.03.2022

Es bedeutet Logarithmus zur Basis 4 @HAL9000
Und zur 3: 2 hoch n-halbe genau, mit dem Editor kann man das leider nicht anders schreiben .

MaaaathStuuudent aktiv_icon

20:51 Uhr, 21.03.2022

@n8eule kannst du mir bitte einen Tipp für die 3 und 6 geben, in wenigen Tagen steht die Klausur an und ich bin kurz vorm verzweifeln.

N8eule

22:04 Uhr, 21.03.2022

n^{1}; n^{2}; n^{3}; n^{4} . .

. das sind Potenzfunktionen,

2^{n}; e^{n}; 3^{n}; 4^{n} . .

. das sind Exponentialfunktionen.

So auch die

3 .)

und die

6 .),

das sind ganz offensichtlich Exponentialfunktionen.

Na ja nein, die

3 .)

muss man wieder erklären. Auch hier gilt wieder, so rein-rassig ist die leider nicht. Auch hier ist wieder ein Logarithmus zum Schüler-verwirren dazugestreut.
Aber auch hier gilt wieder: der Exponential-Ausdruck ist absolut dominierend und bestimmt das Wachstumsverhalten. Das bisschen Logarithmus spielt nur eine unbedeutende Nebenrolle.

Die Basis der

6 .)

sollte offensichtlich sein: Basis

= 2

Die Basis der

3 .)

ist vielleicht nicht ganz so offensichtlich, willst du mal?

Wenn wir so weit sind, dann gilt der Merksatz, den Ledum schon vor zwei Tagen nannte:
Exponentialfunktionen wachsen alle schneller, als alle Potenzfunktionen.

Dann sollte es nicht mehr schwer sein, die Reihenfolge des Wachstums glatt zu ziehen:
Sortiere erst die Potenzfunktionen nach ihren Potenzen, dann die Exponentialfunktionen nach ihren Basen...
Wie willst du dich bei der Abwägung

1 .) < > 4 .)

entscheiden? bzw. begründen?

MaaaathStuuudent aktiv_icon

12:02 Uhr, 22.03.2022

2 \cdot l o g_{4} (n) = 2 \cdot l n (n) / l n (4) = 2 / l n (4) \cdot l n (n) = 1.443 \cdot l n (n)

4 \cdot l o g_{2} (n) = 4 \cdot l n (n) / l n (4) = 4 / l n (2) \cdot l n (n) = 5.771 \cdot l n (n)

Also wächst

4 \cdot n l o g_{2} n

schneller als

2 \cdot n l o g_{4} n

.

Reihenfolge:

2 \cdot n l o g_{4} n < 4 \cdot n l o g_{2} n < 3 n \cdot \sqrt{n} < 2 n^{2} - n < 2^{\frac{n}{2}} \cdot l o g n < 2^{n}

Wie siehts jetzt aus?

N8eule

12:13 Uhr, 22.03.2022

Das sieht doch schon gut aus. :-)

Der Vollständigkeit halber:
Hast du erkannt(?):

[2 \cdot n \cdot {log}_{4} (n)] = \frac{1}{4} \cdot [4 \cdot n \cdot {log}_{2} (n)]

Die Basis der

3 .) :

2^{\frac{n}{2}} \cdot ln (n) = 2^{\frac{1}{2} \cdot n} \cdot ln (n) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{n} \cdot ln (n) = {[\sqrt{2}]}^{n} \cdot ln (n)

d . h

. die Basis der

3 .)

ist:

2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} = 1,414 . .

.

Zur Übersicht, Begründung, Vertiefung, Verständnis:
Du hast das Funktionen-Wachstum sortiert nach
Potenzfunktionen

<

Exponentialfunktionen
Potenz

1 \leq

Potenz

1 <

Potenz

1.5 <

Potenz

2 <

Basis

\sqrt{2} <

Basis 2

Die Abwägung

1 .) < > 4 .)

hast du schon gut angerissen. Da könnten Basis-Theoretiker vermutlich noch lange diskutieren. Aber ich glaube im Sinne des Aufgabenverständnisses endlich gut gelungen...
:-)