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Atroide - Rotation um die y-Achse

Universität / Fachhochschule

Tags: Volumsberechnung

stinlein aktiv_icon

17:55 Uhr, 17.12.2017

Erbitte Hilfe und bedanke mich ganz herzlich schon im Voraus für die Mühe!
Aufgabe:
Die Astroide

f (t) = (5 \cdot {cos}^{3} (t), 5 \cdot {sin}^{3} (t)

t

ist Element

[0,

2pi

]

rotiert um die y-Achse. Berechnen Sie das Volumen Vy des dadurch entstandenen Rotationskörpers!
Ich hätte so begonnen:

x (t) = 5 \cdot {cos}^{3} (t)

y = 5 \cdot {sin}^{3} (t)

x' - 15 \cdot {cos}^{2} (t) \cdot sin (t)

y' = - 15 \cdot cos (t) \cdot {sin}^{2} (t)

= π \cdot \int t^{2} \cdot f' (t) d t =

Als Grenzen würde ich 0 bis

\frac{π}{2}

nehmen.
Ich komme leider zu keinem akzeptablen Ergebnis. Ich danke demjenigen, der mir weiterhilft ganz herzlich schon im Vorhinein! DANKE!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

17:59 Uhr, 17.12.2017

Hallo stinlein - plötzlich im Uni-Forum gelandet!?

>

Vy =π⋅∫t2⋅f′(t)dt=
Und wie kommst du auf diese Formel?
Was sollte denn dabei

f' (t)

bedeuten?
Welche Formel für das Rotationsvolumen ist dir denn geläufig?

>

Als Grenzen würde ich 0 bis π2 nehmen.
Ja, wenn du das so erhaltene Volumen dann noch verdoppelst, ist das in Ordnung.

stinlein aktiv_icon

18:08 Uhr, 17.12.2017

Hallo, lieber Roman-22. Ich wollte nicht immer dich belasten. Und da im Schülerforum nur wenige sind, die sich da auskennen, habe ich es einmal hier versucht.
Danke für dein Hilfangebot. Du hast mir ja schon so oft aus der Patsche geholfen! Die Aufgabe - ich weiß - gehört natürlich ins Schülerforum.

(13

. Schulstufe)
Ja, an und für sich habe ich bis jetzt immer mit der Formel

V = π \cdot \int g^{2} (y) d y

gerechnet. Aber die scheint mir hier nicht angebracht.

Roman-22

18:22 Uhr, 17.12.2017

Die meisten Helfer scannen hier beiden Foren und sind in beiden gleichermaßen präsent. Es bringt also idR nichts, eine Schulaufgabe ins Uni-Forum zu posten.

> Ja, an und für sich habe ich bis jetzt immer mit der Formel V=π⋅∫g2(y)dy gerechnet.
Naja, hängt jetzt davon ab, was g(y) sein soll.

Besser ist es, sich

V_{y} = π \cdot \int_{y_{1}}^{y_{2}} x^{2} d y

zu merken.

In deiner Formel soll wohl das

g (y)

die Umkehrung einer Funktion

y = f (x)

sein, also

x = g (y)

.

Für

x

kannst du hier direkt

x (t) = 5 * c o s^{3} t

einsetzen und für

d y = \frac{d y}{d t} d t = \dot{y} (t) d t

.

Die y-Grenzen in der erstgenannten Formel sind nun auch durch t-Grenzen zu ersetzen und da hast du die Wahl, entweder von

- π / 2

bis

π / 2

zu integrieren, oder nur von

0

bis

π / 2

und dafür verdoppeln.

Insgesamt also

V_{y} = 2 π \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} x (t)^{2} \dot{y} (t) d t

P.S.: Wie kommst du denn bei

y ʹ

, was wohl

\dot{y} (t) = \frac{d y (t)}{d t}

sein soll, auf ein negatives Vorzeichen?

stinlein aktiv_icon

18:40 Uhr, 17.12.2017

Vorerst einmal lieben Dank für die Aufklärung. Werde also in Hinkunft beim Schülerforum bleiben.
Ich habe nur festgetellt, dass alle Videos, die im Internet anzusehen sind, aus Vorlesungen im 1. und 2. Semseter stammen - das hört man, da die Professoren ja auch Fragen an ihre Studenten richten! (Was Asteroide, Lemniskate, Kardioide,.... etc. betrifft!)
Danke für die Formel, die werde ich mir gleich in mein eigenes Formelheft eintragen. Ich muss also, wenn ich von 0 bis

\frac{π}{2}

integriere, das Volumen noch mit 2 multiplizieren, damit ich das gesamte Volumen erhalte. Das habe ich mir auch so vorgestellt.
Danke dir inzwischen ganz herzlich. Gehe ans Rechnen. Wahrscheinlich habe ich dann noch eine Rückfrage, daher schließe ich die Aufgabe noch nicht ab.
Das negative Vorzeichen ist mir leider hineingerutscht, konnte es dann nicht mehr ausbessern, da du so schnell mit anworten warst. Danke aber für den Hinweis! dir entgeht einfach nichts!

stinlein

Roman-22

18:52 Uhr, 17.12.2017

Die Formel hast du sicher schon in der einen oder anderen Form notiert.
Es geht ja nur darum, dass du dir das Volumen aus übereinandergestapelten dünnen Zylinderscheiben vorstellst. Der Radius der Scheiben ist der jeweilige x-Wert und die Höhe das infinitesimal kleine

d y

. Daraus ergibt sich für das Volumen einer dieser Scheiben dV=

x^{2} \cdot π \cdot d y

und die Summe all dieser (unendlich vielen) Zylinderscheiben ist dann eben das genannte Integral.

stinlein aktiv_icon

19:07 Uhr, 17.12.2017

Danke, Roman-22!
Vy

= 2 \cdot π \int 25 \cdot {cos}^{6} (t) \cdot 15 cos (t) \cdot {sin}^{2} (t) = 2 \cdot π \int 375 {cos}^{6} (t) \cdot cos (t) \cdot {sin}^{2} (t) =

750 \cdot π \int {cos}^{6} (t) \cdot cos (t) \cdot {sin}^{2} (t) =

integrieren:
1. Faktor:

{cos}^{7} (t) = \frac{- {sin}^{7} (t)}{7} + \frac{3 {sin}^{5} (t)}{5} - {sin}^{3} (t) + sin (t)

2. Faktor:

{sin}^{2} (t) = \frac{x - \frac{sin (2 t)}{2}}{2}

Da würde ja der erste Faktor - wenn ich

\frac{π}{2}

einsetze 0 ergeben - somit alles 0. Minus der unteren Grenze - ebenfalls 0???
Was mache ich da falsch?
Das war eine Schularbeitenaufgabe von vielen, ist die wirklich sooo schwer? Wundert mich nicht, dass die Ergebnisse so dürftig waren.

Roman-22

19:44 Uhr, 17.12.2017

Zum einen fehlen deinen Integralen durchwegs die Differentiale

d t

Dann ist es definitiv falsch, zu schreiben

{cos}^{7} t = ...,

wenn du eigentlich offenbar

\int {cos}^{7} t d t =

meinst

Und was du da mit den Faktoren, die Null ergeben, meinst, ist mir unklar. Du wirst doch nicht die Absicht haben, die Faktoren des Integranden einfach einzeln zu intgerieren, oder?

\int (f \cdot g) \neq \int f \cdot \int g!!!!

>

Das war eine Schularbeitenaufgabe von vielen, ist die wirklich sooo schwer?
Lässt sich schwer sagen, da das einerseits von der Vorbereitung, also vom Unterricht abhängt und auch davon, welche Hilfsmittel (TR, CAS, Formelsammlung,

...)

ihr verwenden dürft.

\int {cos}^{7} t \cdot {sin}^{2} t d t

kannst du entweder mit

{sin}^{2} t = 1 - {cos}^{2} t \in \int {cos}^{7} t d t - \int {cos}^{9} t d t

aufteilen, oder aber mit

= \int ({cos}^{7} t \cdot sin t) \cdot (sin t) d t

partiell integrieren, wenn euch kein elektronischer Rechenknecht zur Verfügung steht.

Zur Kontrolle:

V_{y} = \frac{800}{21} \cdot π

stinlein aktiv_icon

20:05 Uhr, 17.12.2017

Ja, da habe ich eine Dummheit gemacht. Danke für die Rückmeldung, lieber Roman22!
Vy

= 750 \cdot π \cdot \int {cos}^{7} (t) \cdot {sin}^{2} t d t =

[750 \cdot π \cdot [- \frac{35 {sin}^{9} (t) - 135 \cdot {sin}^{7} (t) + 189 \cdot {sin}^{5} (t) - 105 \cdot {sin}^{3} (t)}{315}]

in den Grenzen 0 und

\frac{π}{2}

Da würde ich eine Fläche von

119,68

FE erhalten. Könnte das stimmen?

Roman-22

20:17 Uhr, 17.12.2017

>

Da würde ich eine Fläche von

119,68

FE erhalten. Könnte das stimmen?
Die von mir zur Kontrolle genannten

\frac{800}{21} \cdot π

in den Taschenrechner eingeben kannst du doch sicher auch selbst, oder? ;-)
FE sinds aber sicher nicht, wohl eher VE.

stinlein aktiv_icon

08:30 Uhr, 18.12.2017

Ich danke dir von ganzem Herzen für deine Hilfe! Bist einfach spitze, danke, danke!
lg
stinlein

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