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Aufgabe: 7 Quadrate übereinander -anzahl vierecke?

Schüler Maturitätsschule, 13. Klassenstufe

Tags: Anzahl, Geometrie, Quadrat, Viereck, zahl gesucht

jolex aktiv_icon

00:45 Uhr, 08.10.2009

Hallo Zusammen!
Nehmen wir mal an es seien 7 quadrate (oder eine beliebige Anzahl) übereinandergelegt wie in der Abbildung. Wie viele Vierecke entstehen dann? Bitte beachten dass ein Viereck kein Quadrat sein muss, also auch Rechtecke miteinbeziehen! Gibt es zu dieser Aufgabe auch eine allgemeingültige Formel? Vielleicht sollte man die Formel noch aufteilen auf die Inneren (grossen) und äusseren (kleinen) Vierecke... Ich habe lange drüber nachgedacht aber bin zu keiner befriedigenden Lösung gekommen! Also wenn es euch interessiert, versucht die Viereckanzahl herauszufinden ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Winkelsumme
Wurzelgesetze

Edddi aktiv_icon

07:58 Uhr, 08.10.2009

solange das letzte Quadrat das erste noch schneidet (in

2

Punkten) ergibt sich:

n =

Anzahl der Quadrate

\sum_{1}^{n - 1} i = \frac{n - 1}{2} \cdot n =

Anzahl der Schnittqudrate

2 \cdot \sum_{1}^{n - 2} i = 2 \cdot \frac{n - 2}{2} \cdot (n - 1) =

Anzahl der Randqudrate

...somit hab' ich dann:

A = \frac{3}{2} \cdot n^{2} - \frac{5}{2} \cdot n + 2

Dies liefert für:

n = 1

Ergebnis 1

n = 2

Ergebnis 3

n = 3

Ergebnis 8

n = 4

Ergebnis

16

n = 5

Ergebnis

27

n = 6

Ergebnis

41

n = 7

Ergebnis

58

.
.
.

...so, das hab' ich zumindestens raus....und wie gesagt nur mit obiger Einschränkung

;-)

jolex aktiv_icon

12:55 Uhr, 08.10.2009

Hallo Edddi!
Danke für die schnelle Antwort. Mit deiner Formel der bestimmung der kleinen Randquadrate bin ich ganz zufrieden, doch mit der zweiten stimmt etwas nicht. Ich glaube du hast dich nur verschrieben, denn ich habe es selbst nachgerechnet, und die allgemeine formel (

A = \frac{3}{2} \cdot n ² - \frac{5}{2} \cdot n + 2

) stimmt wieder. Nur zur Korrektur, die Formel der Schnittquadrate sollte meiner Meinung nach so lauten:

\frac{n + 1}{2} \cdot n

Aber das Problem ist noch nicht gelöst, denn ich suche alle Vierecke (nicht nur quadrate) in diesem Bild (das sind noch einige mehr). Es gibt auch noch mehr Quadrate (z.B. die 2x2 Quadrate bei den Randquadraten). Und dann noch alle Rechtecke (bei den Randquadraten z.B. die mit 2x3 kleinen Quadrätchen). Ich habe mich mal dahintergesetzt und gezählt, aber leider keine allgemeine Formel gefunden. Gekommen bin ich auf 172 (28 Schnittquadrate, 30 Quadrätchen und 114 Vierecke in den Randquadraten) wobei ich mir aber nicht sicher bin. Das Problem ist, dass es immer wieder doppelte Vierecke gibt, die man auf zwei Arten dazuzählen kann, aber nur einmal darf...
Danke für eure Hilfe!
Grüsse

Photon aktiv_icon

17:10 Uhr, 09.10.2009

Ich komme auf

n \frac{n + 1}{2} + \sum_{k = 1}^{n - 2} (k \frac{k + 1}{2} \cdot (n - 1 - k))

Eventuell kann man das noch vereinfachen und das Summenzeichen zusammen mit dem

k

wegrationalisieren. :-) Wenn das einigermaßen hinkommt, mal ich eine Skizze mit einer Erklärung. :-)

jolex aktiv_icon

19:43 Uhr, 09.10.2009

Wow diese Formel scheint zu stimmen! Also zuerst dachte ich nicht, aber ich glaube du hast einen kleinen Fehler gemacht. Die summe von k=1 bis n-2 sollte noch mit 2 multipliziert werden, dann stimmt es! (also ich habe es von hand überprüft bis n=5). Nur leider habe ich keine Ahnung wie du auf diese Summe kommst, könntest du das erklären? Ich bin sehr neugierig :-) Ja das mit dem vereinfachen ist mir nicht so wichtig, ich bin auf der suche nach dem Prinzip wie man sowas macht ;-) Die Formel gibt für n=7 168 Vierecke, ich bin auf 172 gekommen, also muss sie stimmen, denn so genau kann man das von auge nicht machen, da einige doppelte vierecke vorkommen die man schnell übersieht :-)
Grüsse

Photon aktiv_icon

20:27 Uhr, 09.10.2009

Ja, klar, den Zweier hab ich vollkommen vergessen am Ende einzufügen... Ich mach gleich mal eine Skizze. :-)

edit: Ok, das mit der Skizze ist leicht gesagt... Unser

n

ist 7. Die Rechtecke (bzw. eigentlich Quadrate), die die oberen-linken und unteren-rechten Ecken der Ausgangsquadrate enthalten, wurden gezählt mit

n \frac{n + 1}{2}

. Jetzt fehlen die kleinen Quadrate und ihre Kombinationen. Beschränken wir uns auf die rechte obere Hälfte, um die andere zu kriegen, muss das Ergebnis verdoppelt werden (was ich eben vergessen habe). Zählen wir erstmal alle Rechtecke, die das Quadrat A enthalten. Um ein Rechteck festzulegen, brauchen wir zwei Punkte. Der eine ist die linke untere Ecke von A. Wie viele Möglichkeiten gibt es für den anderen? Es kann die rechte obere Ecke von A sein, dann besteht das Rechteck nur aus A selbst. Dann kann es die linke obere Ecke von

B

oder von

C

sein. Oder von

D, E

oder F. Um alle Rechtecke, die A enthalten, zu bekommen, müssen wir also alle Quadrate in diesem 5-Dreieck zusammenzählen:

1 + 2 + 3 ... + (n - 3) + (n - 2),

denn in der äußersten Reihe sind es

5 = 7 - 2 = n - 2

Quadrate. Jetzt brauchen wir noch die Rechtecke, die A nicht enthalten. Kriegen wir alle, die

B

enthalten aber A nicht enthalten. Die befinden sich im 4-Dreieck mit der Spitze in B.

- - -

Ich mal morgen weiter, muss leider schlafen gehen. :-)---

jolex aktiv_icon

00:26 Uhr, 10.10.2009

Wow, diese Lösungsmethode ist wirklich sehr elegant! Danke viel mal für deine Hilfe! Du brauchst dir nicht weiter mühe zu machen, hab jetz mit diesem Ansatz selbst eine Formel gefunden (sie weicht zwar ein ganz klein wenig von deiner ab, aber kommt aufs gleiche, wiso dass sie abweicht weiss ich nicht...). Ausserdem habe ich die Teilung durch weggestrichen weil man die Summe ja verdoppelt. Ich setze die Frage mal als beantwortet ;-)

Meine Formel lautet so:

n \cdot \frac{n + 1}{2} + \sum_{k = 1}^{n - 2} (k (n - k) (n - k - 1))

Achja, wie macht man das die Formel so gross rauskommt wie bei euch? Sonst macht man das ja in Latex mit 2 Dollarzeichen, aber das geht nicht...
Danke für die Hilfe!
Grüsse

Photon aktiv_icon

13:10 Uhr, 10.10.2009

Hmm, kommt da echt das Gleiche raus? Der einzige Unterschied ist ja, dass

k + 1

mit

n - k

ersetzt wurde, aber das ist ja nicht das Gleiche... Also meine Formel kam so zustande:

Nehmen wir wieder

n = 7

. Dann gibt es 1 5-Dreieck, 2 4-Dreiecke, 3 3-Dreiecke, 4 2-Dreiecke und 5 1-Dreiecke. In einem k-Dreieck gibt es aber

1 + 2 + 3 + ... + k = \sum_{i = 1}^{k} i

Rechtecke. Insgesamt gibt es also:

1 \cdot \sum_{i = 1}^{5} i + 2 \cdot \sum_{i = 1}^{4} i + 3 \cdot \sum_{i = 1}^{3} i + 4 \cdot \sum_{i = 1}^{2} i + 5 \cdot \sum_{i = 1}^{1} i =

1 \cdot \sum_{i = 1}^{n - 2} i + 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n - 3} i + 3 \cdot \sum_{i = 1}^{n - 4} i + 4 \cdot \sum_{i = 1}^{n - 5} i + 5 \cdot \sum_{i = 1}^{n - 6} i =

1 \cdot \sum_{i = 1}^{n - 1 - 1} i + 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n - 1 - 2} i + 3 \cdot \sum_{i = 1}^{n - 1 - 3} i + 4 \cdot \sum_{i = 1}^{n - 1 - 4} i + 5 \cdot \sum_{i = 1}^{n - 1 - 5} i =

\sum_{k = 1}^{n - 2} (k \cdot \sum_{i = 1}^{n - 1 - k} i) =

\sum_{k = 1}^{n - 2} (k \cdot \frac{(n - 1 - k) \cdot (n - k)}{2})

Arg, jetzt bin ich auf deine Formel rausgekommen. :-D) Aber ich glaub, ich weiß, wie man auf meine kommt. Man drehe die Reihenfolge in der ersten Zeile um:

1 \cdot \sum_{i = 1}^{5} i + 2 \cdot \sum_{i = 1}^{4} i + 3 \cdot \sum_{i = 1}^{3} i + 4 \cdot \sum_{i = 1}^{2} i + 5 \cdot \sum_{i = 1}^{1} i =

5 \cdot \sum_{i = 1}^{1} i + 4 \cdot \sum_{i = 1}^{2} i + 3 \cdot \sum_{i = 1}^{3} i + 2 \cdot \sum_{i = 1}^{4} i + 1 \cdot \sum_{i = 1}^{5} i =

\sum_{k = 1}^{n - 2} ((n - 1 - k) \sum_{i = 1}^{k} i) =

\sum_{k = 1}^{n - 2} ((n - 1 - k) \frac{k (k + 1)}{2})

So, jetzt passt's. Also sind wirklich beide Formeln äquivalent.

Große Formeln kriegt man, wenn man im einfachen Text-Modus Formeln schreibt. :-)

jolex aktiv_icon

14:42 Uhr, 10.10.2009

Ja super! Ich bin eben auch auf dem gleichen Wege auf "meine" Formel gekommen wie du zuerst beschrieben hast. Echt super hilfe :-D)
Das mit den Formeln hab ich auch gedacht aber ich bin zu faul sie im Editor zu machen wenn es mit Latex einfacher geht :-P)
Willst du noch so eine Aufgabe mit vierecken finden? Ich glaub eher nicht ^^
Grüsse

Photon aktiv_icon

15:37 Uhr, 10.10.2009

Doch, klar. :-D) Ich grüble grad an einer anderen, aber die wehrt sich nicht mehr lang, dann kann auch eine weitere Rechtecksaufgabe kommen. :-D)

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