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Aufgabe: Banachraum?

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Analysis, Axiom, Banachraum, Funktionalanalysis, Mathematik, Mengenlehre, Norm

xam193 aktiv_icon

09:22 Uhr, 22.05.2019

Guten Tag!

Ich brauche etwas Hilfe bei dieser Aufgabe:

Man zeige, dass die Menge

C ([0,1]; ℝ^{n}), n \in ℕ

(das ist bei uns die Menge aller stetigen Funktionen die von dem Intervall

[0,1]

auf

ℝ^{n}

abbilden.) versehen mit der Norm

{| | u | |}_{C ([0,1]; ℝ^{n})} =

Supremum

({| | u (x) | |}_{ℝ^{n}}),

mit

x \in [0,1]

für jede Wahl einer Norm auf

ℝ^{n}

ein Banachraum ist. Verschiedene Normen auf dem

ℝ^{n}

führen zu äquivalenten Normen auf

C ([0,1]; ℝ^{n})

.

So das ist die Aufgabe. Um eine "Mengenstruktur" mit einer Norm auf Banachraum-Wertigkeit zu überprüfen muss ich zeigen, dass die zu Grunde liegende Menge (hier:

C ([0,1]; ℝ^{n}))

ein Vektorraum ist bzw. den Vektorraumaxiomen genügt (haben wir schonmal gezeigt in vorherigen Aufgabenzetteln also reicht ein Verweis). Danach muss ich zeigen, dass die angegebene Norm auch wirklich eine Norm auf dem Raum definiert. Als letztes muss ich zeigen, dass

(C ([0,1]; ℝ^{n}), {| | . | |}_{C ([0,1]; ℝ^{n})})

vollständig ist, also dass jede Cauchy-Folge konvergiert.

Richtig???

Und wie genau mache ich letzteres? Und wie überprüfe ich die Axiome der Norm? Denn hier kommt halt noch dazu, dass ich keine Norm auf

ℝ^{n}

gegeben habe, sondern es für alle gilt bzw. gelten soll...
Ich würde mich über eure Hilfe freuen!

LG Max Stuthmann

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

michaL aktiv_icon

10:04 Uhr, 22.05.2019

Hallo,

> Und wie genau mache ich letzteres?

Die Funktionenfolgen konvergieren ja punktweise (Dazu musst du zeigen, dass (aufgrund der Stetigkeit) auch die Folgen

(f_{n} (x))

mit FESTEM

x

Cauchyfolgen sind. Die Punkträume sind ja vollständig.). Der punktweise Grenzwert ist genau dann Element des Funktionenraumes, wenn er auch stetig ist!

> Und wie überprüfe ich die Axiome der Norm?

Nun, das ist jetzt schon lange her, aber mMn musst du die Axiome der abgeleiteten (Funktionen-)Norm auf die Punktnorm zurückführen.

Mfg Michael

xam193 aktiv_icon

10:27 Uhr, 22.05.2019

ich danke ihnen vielmals! Ich versuche mal ein bisschen herum.

LG Max Stuthmann

pwmeyer aktiv_icon

13:17 Uhr, 22.05.2019

Hallo,

mir kommt das als "Aufgabe" etwas komplex vor. Kann es sein, dass Ihr diese Aussagen für eine spezielle reelle Norm, etwa

{| | . | |}_{ℝ^{n}} = {| | . | |}_{\infty}

(Maximumsnorm), schon gezeigt habt und nur noch die Übertragung auf beliebige

ℝ^{n} -

Normen durchführen sollt?

Wisst Ihr, dass auf

ℝ^{n}

alle Normen äquivalent sind?

Gruß pwm

xam193 aktiv_icon

13:58 Uhr, 22.05.2019

Hallo

Nein haben wir noch nicht gezeigt... Aber dass alle Normen auf

ℝ^{n}

äquivalent sind wissen wir schon bzw. weiß ich schon.

LG Max Stuthmann

xam193 aktiv_icon

14:14 Uhr, 22.05.2019

Wir haben aber in der Vorlesung Beispiele für Banachräume gehabt. Unter anderem gab es diese beiden Beispiele:

1 .)

Sei

K

ein kompakter metrischer Raum, dann ist C(K;IK) mit

{| | f | |}_{C (K; I K)} = max {| f (x) |

mit

x \in K}

ein IK-Banachraum.

2.)Sei

K

ein kompakter Metrischer Raum, dann ist

C (K; I K^{n})

mit der Norm

{| | F | |}_{C (K; I K^{n})} = max {{| | F (x) | |}_{2}

mit

x \in K}

ein IK-Banachraum.

Ich weiß nicht ob das hilft... Weil in Beispiel

1 .)

ist ja die Norm

{| | f | |}_{C (K; I K)} = max {| f (x) |

mit

x \in K}

und dann ist

K

hier unser Intervall

[0,1]

und der Betrag ist ja eine Norm auf

ℝ^{1} . .

. Bin ich verwirrt...?

pwmeyer aktiv_icon

17:49 Uhr, 22.05.2019

Hallo,

das ist doch genau die Situation Deiner Aufgabe.

K = [0,1]

und IK=

ℝ

mit IK^n

= ℝ^{n}

. Die spezielle Norm auf

ℝ^{n}

ist also die euklidische Norm

{| | . | |}_{2}

.

Wenn Ihr also das Beispiel verwenden dürft, dann brauchst Du nur zeigen, dass die Vollständigkeit sich wegen der Äquivalenz der Normen auf

ℝ^{n}

überträgt.

Gruß pwm

xam193 aktiv_icon

20:30 Uhr, 22.05.2019

Vielen Dank hat mir sehr geholfen!

LG Max Stuthmann

xam193 aktiv_icon

20:31 Uhr, 22.05.2019

Vielen Dank hat mir sehr geholfen!

LG Max Stuthmann

xam193 aktiv_icon

17:58 Uhr, 23.05.2019

Nur ist jetzt noch die Frage wie ich das mache...

Also zwei Normen

{| | . | |}_{a}

und

{| | . | |}_{b}

auf einem Linearen Raum

V

heißen äquivalent, wenn es Zahlen

0 < m < M

gibt, sodass

\forall x \in V

gilt:

m \cdot {| | . | |}_{a} \leq {| | . | |}_{b} \leq M \cdot {| | . | |}_{a}

und jetzt? Zeigen, dass jede Cauchy-Folge konvergiert und dabei die Ungleichung als Voraussetzung benutzen?

LG Max Stuthmann

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