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Aufgabe: Fluss durch Kegel

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Kegel, Satz von Gauss, Sonstiges, Vektorfeld

virus01 aktiv_icon

20:46 Uhr, 21.01.2012

Hallo zusammen,

Ich habe hier eine Aufgabe und möchte wissen ob ich die Aufgabe verstanden habe:

Ich habe einen Kegel: $K : x² + y² \leq z², 0 \leq z \leq 1$

mit Mantelfläche S und Randkurve: $C : φ \to (\begin{matrix} \cos (φ) \\ \sin (φ) \\ 1 \end{matrix}), φ \in (0, 2 Π)$

Das Vektorfeld ist F=(y,y,0) (transformiert).

Ich soll dazu $| \iint_{S} F n d O | u n d | \iint_{S} r o t (F) n d O |$ berechnen.

Wie ich es verstanden habe: Das erste Integral berechnet den Fluss durch die

Mantelfläche des Kegels K. F ist das Vektorfeld, n ist der Normalenvektor.

Beim Normalenvektor bin ich mir unsicher. Ich dachte da muss man erstmal die Mantelfläche parametrisieren. S(u,v) nenne ich dann die param. Mantelfläche. Ich leite einmal diese Parametrisierung nach u ab, einmal nach v ab und bilde das Kreuzprodukt der 2 Vektoren. Dadurch kriege ich den Normalenvektor. Das dO sollte das Flächenelement sein. Dieses muss ich mit $| S_{u} \times S_{v} |$ ausrechnen.

Den Satz von Gauß darf man da nicht anwenden, denn es ist keine geschlossene Fläche oder?

Das 2. Integral berechnet auch den Fluss durch die Mantelfläche. Was ist da anders? Ist das der Satz von Stokes, denn für die Mantelfläche habe ich eine geschlossene Kurve?

Stimmt das ganze was ich hier erzählt hab?

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Kegels

hagman aktiv_icon

23:49 Uhr, 21.01.2012

Den Satz von Gauß könnte man natürlich durchaus ins Spiel bringen: Zusammen mit der Kreisfläche, die von

C

berandet wird, ergibt sich eine geschlossene Fläche. Und das Integral zu dieser Kreisfläche ist leichter zu berechnen (das gilt insbesondere die Normalen).

virus01 aktiv_icon

00:31 Uhr, 22.01.2012

Heißt das ich muss den Fluss durch den ganzen Kegel berechnen und davon dann den Fluss von der Grundfläche abziehen?

Ich versteh nicht ganz was ich beim ersten Integral

$| \iint_{S} F n d O |$ machen soll. Soll ich da direkt ein Integral über die Fläche berechnen

Ich habe mal folgendes gemacht:

Mantelfläche parametrisiert: $S (r, φ) = (\begin{matrix} r \cos (φ) \\ r \sin (φ) \\ r \end{matrix}), 0 \leq r \leq 1, 0 \leq φ \leq 2 π$ Der Kegel liegt ja mit der Spitze im Nullpunkt, die Grundfläche ist nach oben gerichtet und liegt in der Ebene z=1.

Wie berechne ich nun das Oberflächenintegral durch diese Fläche?

Ich hab da folgendes gefunden: $\iint_{F} g * n * d O = \iint_{F} g * n * | X_{u} \times X_{v} | d u d v$

Dabei ist X die Parametrisierung X(u,v) der Fläche. g ist das Vektorfeld. Wie berechne ich das,da ich ja g als $g = (\begin{matrix} y \\ y \\ 0 \end{matrix})$ gegeben habe und nicht einfachso mit den Polar/Zylinderkoordinaten malnehmen kann?

Yokozuna aktiv_icon

09:37 Uhr, 22.01.2012

Hallo,

hagman hat recht. Die direkte Berechnung des Integrals über den Kegelmantel ist eher was für Masochisten. Da kann einem der Integralsatz von Gauß das Leben wesentlich erleichtern, da in Deinem Fall das Integral über das Kegelvolumen bestimmt weniger schwierig ist. Vereinfacht ausgedrückt hätten wir dann

\int \int_{S}

(Kegelmantel)

+ \int \int_{S}

(Kreisscheibe)

= \int \int \int_{V}

(Kegel) oder

\int \int_{S}

(Kegelmantel)

= \int \int \int_{V}

(Kegel)

- \int \int_{S}

(Kreisscheibe)
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist

\vec{F} = (\begin{matrix} y \\ y \\ 0 \end{matrix})

und der Normalenvektor der Kreisscheibe ist

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

. Dann wäre bei der Kreisscheibe

\vec{F} \cdot \vec{n} = 0

und damit bei der ersten Teilaufgabe auch

\int \int_{S}

(Kreisscheibe)

= 0,

so daß man beim ersten Integral hätte

\int \int_{S}

(Kegelmantel)

= \int \int \int_{V}

(Kegel)

Beim 2. Integral ist für

\vec{F} = (\begin{matrix} y \\ y \\ 0 \end{matrix})

die z-Komponente der Rotation rot(

\vec{F})

nicht gleich Null und damit ist das Integral

\int \int_{S}

(Kreisscheibe)

\neq 0,

ist aber wegen

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \equiv

konstant bestimmt einfacher zu Berechnen, als das Integral über den Kegelmantel. Außerdem könnte man beim 2. Integral wohl mit dem Integralsatz von Stokes das Integral über die Kreisscheibe durch ein Integral über den Rand der Kreisscheibe ersetzen.

Viele Grüße
Yokozuna

virus01 aktiv_icon

10:42 Uhr, 22.01.2012

Danke, ich werde die Integrale noch berechnen.

Hier habe ich mal beim 2. Integral den Satz von Stokes angewandt:

Dann muss ich das geschlossene Kurvenintegral berechnen:

$\oint_{K} \overset{⇀}{F} d x = \int_{a}^{b} \overset{⇀}{F} (C (t)) C^{,} (t) d t$

Für die Parametrisierung der Kurve habe ich: $t = φ, C (φ) = (\begin{matrix} \cos (φ) \\ \sin (φ) \\ 1 \end{matrix}), 0 \leq φ \leq 2 π$

Abgeleitet: $C^{,} (φ) = (\begin{matrix} - \sin (φ) \\ \cos (φ) \\ 0 \end{matrix}), 0 \leq φ \leq 2 π$

Kurve eingesetzt in das Vektorfeld: $\overset{⇀}{F} (C) = (\begin{matrix} \sin (φ) \\ \sin (φ) \\ 0 \end{matrix})$

Insgesamt habe ich: $\int_{0}^{2 π} (\begin{matrix} \sin φ \\ \sin φ \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} - \sin φ \\ \cos φ \\ 0 \end{matrix}) d φ = \int_{0}^{2 π} - \sin ² (φ) + \sin (φ) \cos (φ) d φ = - π$

In der Aufgabe steht Betrag vom ganzen, also habe ich insgesamt +pi.

Stimmt das alles?

Yokozuna aktiv_icon

11:18 Uhr, 22.01.2012

Das Kurvenintegral sieht gut aus. Den Betrag darfst Du nicht zu früh nehmen. Es ist

| \int \int_{S}

(Kegelmantel)

| = | \int \int \int_{V}

(Kegel)

- \int \int_{S}

(Kreisscheibe) |

Viele Grüße
Yokozuna

virus01 aktiv_icon

11:38 Uhr, 22.01.2012

Okay jetzt dachte ich aber dass dies (also das -pi) nach Stokes schon der Fluss durch die Mantelfläche ist, denn die Kurve berandet ja diese Mantelfläche.

Yokozuna aktiv_icon

12:13 Uhr, 22.01.2012

Ja, da hast Du recht. Der Integrand des Volumenintegrals ist ja div(rot

(\vec{F}))

und es gilt ja für jedes Vektorfeld div(rot

(\vec{F})) = 0

. Deshalb ist das Volumenintegral gleich 0 und das Integral über die Kreisscheibe ist dann gleich dem Integral über den Kegelmantel.

Viele Grüße
Yokozuna

virus01 aktiv_icon

12:52 Uhr, 22.01.2012

Ok, ich habe das 2. Integral dann fertig.

Nun berechne ich das erste:

Ich habe es mal eingescannt, rechts habe ich das von vorhin, links das erste Integral. Die Divergenz ist 1. Ich habe für das Volumen Zylinderkoordinaten verwendet. Links unten habe ich dann 2 Integrale aufgestellt Grün 1 und Grün 2. Bei dem einen habe ich r hinzugefügt, da ich das doch bei Zylinderkoordinaten machen muss oder nicht? Bei dem ohne r kommt auch pi raus. Welches ist richtig?

--------------------------------

Ganz rechts unten habe ich mal die direkte Methode versucht.

Weiß nur nicht wie ich jetzt das Integral berechnen soll. Was ist das n?

Das sollte doch das Kreuzprodukt S(r)xS(phi) sein oder nicht?

Vielen vielen Dank für die Hilfe

Yokozuna aktiv_icon

13:09 Uhr, 22.01.2012

Die Variante 2 mit

r

ist richtig. Man kann das Volumen ja auch direkt ohne Integral angeben. Es ist

V = \frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot h \cdot π

und wegen

r = 1

und

h = 1

erhalten wir

V = \frac{π}{3}

.

Das direkte Oberflächenintegral muß ich mir erst noch anschauen. Ich habe jetzt gerade wenig Zeit. Ich melde mich später nochmal.

Viele Grüße
Yokozuna

virus01 aktiv_icon

13:13 Uhr, 22.01.2012

Okay muss nicht direkt sein, danke

Hier habe ich also den Fluss durch die Mantelfäche gleich pi/3. Vorhin hatte ich ja pi bei der Berechnung des Kurvenintegrals und nach Stokes ist das auch der Fluss.

Einmal pi einmal pi/3, was stimmt nicht?

Schönen Gruß

Virus

Yokozuna aktiv_icon

13:19 Uhr, 22.01.2012

Was soll denn nicht stimmen? Die Integranden sind doch verschieden. Einmal haben wir über

\vec{F} \cdot \vec{n}

integriert, da kommt

\frac{π}{3}

raus und einmal integrieren wir über rot(

\vec{F}) \cdot \vec{n},

da kommt dann eben

- π

heraus.

Viele Grüße
Yokozuna

virus01 aktiv_icon

13:24 Uhr, 22.01.2012

Stimmt ja.

Aber ich dachte in beiden Fällen berechnet man den Fluss durch die Mantelfläche, nur halt andere Methoden. Wie groß ist der Fluss durch die Mantelfläche dann?

Yokozuna aktiv_icon

00:53 Uhr, 23.01.2012

Na ja,

\vec{F}

ist ein Vektorfeld und rot (

\vec{F})

ist ein Vektorfeld und der Fluß des Vektorfeldes

\vec{F}

ist

\frac{π}{3}

und der Fluß des Vektorfeldes rot(

\vec{F})

ist

π

(vom Betrag her).
Ich habe mir das Integral über den Kegelmantel jetzt mal angeschaut und ich finde, es ist doch nicht so schwierig wie ich dachte. Du warst schon auf dem richtigen Weg. Wir haben die parametrisierte Mantelfläche:

\vec{S} (r, φ) = (\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ r \end{matrix}), 0 \leq r \leq 1

und

0 \leq φ \leq 2 \cdot π

und wir haben die partiellen Ableitungen:

\vec{S_{r}} = (\begin{matrix} cos (φ) \\ sin (φ) \\ 1 \end{matrix}), \vec{S_{φ}} = (\begin{matrix} - r \cdot sin (φ) \\ r \cdot cos (φ) \\ 0 \end{matrix})

Daraus ergibt sich der Normalenvektor

\vec{S_{r}} \times \vec{S_{φ}} = (\begin{matrix} - r \cdot sin (φ) \\ - r \cdot cos (φ) \\ r \end{matrix})

Dieser Normalenvektor zeigt nach innen. Da wir nur am Betrag des Integrals interessiert sind, ist es egal ob der Normalenvektor nach innen oder außen zeigt.

Fangen wir mit dem 2. Integral an. Aus

\vec{F} = (\begin{matrix} y \\ y \\ 0 \end{matrix})

folgt rot

(\vec{F}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

. Damit lautet das Integral:

\int_{0}^{2 \cdot π} \int_{0}^{1} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - r \cdot sin (φ) \\ - r \cdot cos (φ) \\ r \end{matrix}) \cdot

\cdot d φ = \int_{0}^{2 \cdot π} \int_{0}^{1} - r \cdot

\cdot d φ = \int_{0}^{2 \cdot π} {[- \frac{1}{2} \cdot r^{2}]}_{0}^{1} \cdot d φ =

\int_{0}^{2 \cdot π} - \frac{1}{2} \cdot d φ = - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot π = - π

Beim ersten Integral haben wir

\vec{F} = (\begin{matrix} y \\ y \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} r \cdot sin (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ 0 \end{matrix})

und damit lautet das Integral:

\int_{0}^{2 \cdot π} \int_{0}^{1} (\begin{matrix} r \cdot sin (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - r \cdot sin (φ) \\ - r \cdot cos (φ) \\ r \end{matrix}) \cdot

\cdot d φ = \int_{0}^{2 \cdot π} \int_{0}^{1} (- r^{2} \cdot {sin}^{2} (φ) - r^{2} \cdot sin (φ) \cdot cos (φ)) \cdot

\cdot d φ

Das Ausrechnen überlasse ich Dir. Ich habe

- \frac{1}{3} \cdot π

herausbekommen.

Viele Grüße
Yokozuna

virus01 aktiv_icon

11:27 Uhr, 23.01.2012

Vielen vielen Dank, habs jetzt gut drauf

Ich wusste nicht ob ich wieder r bei den Skalarprodukten im Integral hinzufügen muss oder nicht, weil ich ja wieder in Polarkoordinaten arbeite.

Frage: Sagen wir mal ich hätte z.B. beim zweiten Integral keine konstante Rotation, sondern sowas wie $(\begin{matrix} 3 \\ x y \\ x \end{matrix})$ . Müsste ich dann erst die Komponenten der parametrisierten Fläche einsetzen, damit ich das dann mit dem Normalenvektor multiplizieren kann??

Ich habe auch -pi/3 raus:

$\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} - r² \sin ² (φ) d r d φ = \int_{0}^{2 π} {[- \frac{r³}{3}]}_{0}^{1} d φ = - \frac{1}{3} \int_{0}^{2 π} \sin (φ) \sin (φ) d φ$ part. Integration von sin²:

$\int_{0}^{2 π} \sin (φ) \sin (φ) d φ = {[- \cos (φ) \sin (φ)]}_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} cos² (φ) d φ = \int_{0}^{2 π} 1 - \sin ² (φ) d φ = \int_{0}^{2 π} 1 {- \int}_{0}^{2 π} \sin ² (φ) \Rightarrow {2 \int}_{0}^{2 π} \sin ² (φ) d φ = \int_{0}^{2 π} 1 = π M i t V o r f a k t o r \frac{- 1}{3} \Rightarrow - \frac{π}{3}$

Vielen Dank nochmal

Schönen Gruß,

Virus

Yokozuna aktiv_icon

12:00 Uhr, 23.01.2012

Ja, das ist richtig. Wenn rot

(\vec{F}) = (\begin{matrix} 3 \\ x \cdot y \\ x \end{matrix})

lauten würde, müßte man im Integral dann

(\begin{matrix} 3 \\ r^{2} \cdot sin (φ) \cdot cos (φ) \\ r \cdot cos (φ) \end{matrix})

einsetzen.

Bei der Integration von

{sin}^{2} (φ) + sin (φ) \cdot cos (φ)

kann man sich um die partielle Integration drücken, wenn man den Integranden vorher ein bischen umformt. Ich benutze dazu die Tatsache, daß

sin (2 \cdot φ) = 2 \cdot sin (φ) \cdot cos (φ), cos (2 \cdot φ) = {cos}^{2} (φ) - {sin}^{2} (φ)

und

{sin}^{2} (φ) = 1 - {cos}^{2} (φ)

ist

\Rightarrow

sin (φ) \cdot cos (φ) = \frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot φ)

{sin}^{2} (φ) = \frac{1}{2} \cdot ({sin}^{2} (φ) + {sin}^{2} (φ)) = \frac{1}{2} \cdot (1 - {cos}^{2} (φ) + {sin}^{2} (φ)) = \frac{1}{2} (1 - cos (2 \cdot φ))

Damit lautet der Integrand:

{sin}^{2} (φ) + sin (φ) \cdot cos (φ) = \frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot φ) + \frac{1}{2} (1 - cos (2 \cdot φ))

Das kann man jetzt direkt integrieren.

Viele Grüße
Yokozuna

virus01 aktiv_icon

13:19 Uhr, 23.01.2012

Okay, vielen vielen Dank für die ausführliche Hilfe, habe die Aufgabe jetzt komplett verstaden.

Schönen Gruß,

Virus

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