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Aufgabe Kreiskegel, 10.Klasse Realschule

Schüler Realschule, 10. Klassenstufe

Gerader Kreiskegel

Tags: Axialschnitt, Gerader Kreiskegel, längere Aufgabe!

lisa1993 aktiv_icon

15:01 Uhr, 02.03.2010

Einem Kegel

K

mit dem Grundkreisradius

r = 2,5

cm und der Höhe

h =

6cm werden Kegel Kn mit dem Grundkreisradius

x

cm und der Höhe

h (x)

einbeschrieben.
Es gilt: Die Spitze der einbeschriebenen Kegel liegt auf dem Mittelpunkt des Grundkreises. Die Grundflächen der Kegel sind parallel.

a)

Zeichne einen Axialschnitt des Kegels

K

und des einbeschriebenen Kegels

K 1

für

x = 1

ein. Berechne das Volumen

V 1

des einbeschriebenen Kegels

K 1

b)

Bestimmt die Höhe

h

der einbeschriebenen Kegel in Abhängigkeit vom Grundkreisradius

x

[

Ergebnis:

h (x) = (- 2,4 x + 6)

]

c)

Unter den einbeschriebenen Kegeln gibt es einen Kegel

K 2,

dessen Axialschnitt ein rechtwinkliges Dreieck ist. Berechne

x

d)

Der Axialschnitt des einbeschriebenen Kegels

K 3

ist ein gleichseitiges Dreieck (gleichseitiger Kegel). Berechne hierfür den Wert von

x

e)

Zeige, dass sich das Volumen Vn der einbeschriebenen Kegel wie folgt in Abhängigkeit von

x

darstellen lässt: Vn(x) = -0,8*pix²(x-2,5) cm³

f)

Der einbeschriebene Kegel hat ein maximales Volumen.

ich bin für jede hilfe dankbar! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

magix aktiv_icon

20:38 Uhr, 02.03.2010

Hallo Lisa, hat ein bisschen länger gedauert, Entschuldigung. Aber auch Moderatoren stehen manchmal auf der Leitung ;-)

a)

kannst du sicher selbst zeichnen.

V_{1} = \frac{1}{3} \cdot 1^{2} \cdot π \cdot h (1)

Dieses

h (1)

bekommt man über den Strahlensatz:

\frac{2,5}{1} = \frac{6}{6 - h (1)} | \cdot (6 - (h (1))

2,5 \cdot 6 - 2,5 \cdot h (1) = 6

15 - 2,5 \cdot h (1) = 6 | - 15

- 2,5 \cdot h (1) = - 9 | : - 2,5

h (1) = \frac{9}{2,5} = 3,6

V_{1} = \frac{1}{3} \cdot 1^{2} \cdot π \cdot 3,6 = 1,2 \cdot π

b)

entsprechend der obigen Berechnung von

h (1)

ergibt sich allgemein:

\frac{2,5}{x} = \frac{6}{6 - h (x)} | \cdot x \cdot (6 - h (x))

2,5 \cdot 6 - 2,5 \cdot h (x) = 6 x | - 2,5 \cdot 6

- 2,5 \cdot h (x) = 6 x - 2,5 \cdot 6 | : (- 2,5)

h (x) = \frac{6 x}{- 2,5} + 6 = - 2,4 x + 6

c)

Wenn man statt des Axialschnittes nur dessen Hälfte betrachtet (mit

r

und

h

als Katheten), dann hat das einbeschriebene Dreieck an der Kegel-Spitze einen 45°-Winkel. Da die Grundfläche von

K_{2}

parallel zur Grundfläche des Ausgangskegels sein muss, ist der Winkel zwischen

x

und

h

immer ein rechter Winkel. Folglich muss das einbeschriebene Dreieck ein gleichschenkliges Dreieck sein und für dieses

x = h (x)

gelten.
Man kann also so rechnen:

h (x) = - 2,4 x + 6

x = - 2,4 x + 6 | + 2,4 x

3,4 x = 6

x = \frac{6}{3,4} = \frac{30}{17}

d)

Beim gleichseitigen Dreieck ist die Höhe

h = \frac{a}{2} \sqrt{3}

. Da

x = \frac{a}{2}

ist, gilt:

h (x) = x \sqrt{3} = - 2,4 x + 6

x (\sqrt{3} + 2,4) = 6

x = \frac{6}{\sqrt{3} + 2,4} = 1,452

e) V_{n} = \frac{1}{3} \cdot x^{2} \cdot π \cdot (- 2,4 x + 6) =

= x^{2} \cdot π (- \frac{2,4}{3} x + \frac{6}{3}) =

= x^{2} \cdot π (- 0,8 x + 2) =

= x^{2} \cdot π \cdot (- 0,8) (x + \frac{2}{- 0,8}) = - 0,8 \cdot π \cdot x^{2} (x - 2,5)

f)

Um herauszufinden, bei welchem

x

das Volumen maximal wird, setzt man die 1. Ableitung von

V_{n}

gleich Null.

V_{n} = - 0,8 \cdot π \cdot x^{2} (x - 2,5) =

= - 0,8 \cdot π \cdot x^{3} + 2 \cdot π \cdot x^{2}

V_{n}' = - 2,4 \cdot π \cdot x^{2} + 4 \cdot π \cdot x =

= π \cdot x (- 2,4 x + 4) = 0

- 2,4 x = - 4

x = \frac{5}{3} = 1,67

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