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Aufgabe: Orthogonalität von 2 Ebenen
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: eben, Normalenform, Orthogola
 
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Hallo! Ich steh bei folgender Aufgabe grad aufm Schlauch: Gegeben sind zwei Punkte A und B sowie eine Ebene E. Bestimmen Sie eine Gleichung einer Ebene F, für die gilt: F ist orthogonal zur Ebene E und geht durch die Punkte A und B. a) Was muss ich jetzt machen, damit beide Punkte die Gleichung erfüllen? Bzw. wie komme ich denn jetzt zu einem Ergebnis? Ich bedanke mich für eure Ratschläge! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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Hallo, die Gleichung, die Du für gewählt hast, ist schon zu speziell, da nicht beide Punkte sie erfüllen können. Du musst den Normalenvektor erst noch allgemein lassen und die Orthogonalität als eine Bedingung stellen, z.B. in Form der Gleichung . Die beiden Punkte führen dann zu einer weiteren Gleichung: . Das wäre eine ganz allgemeine Formulierung. Jetzt könntest Du das System lösen. |
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anonymous 14:14 Uhr, 26.12.2010 |
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Ich finde deinen Weg eher umständlich, Mauthagoras. Du schlägst vor dieses Gleichungssystem zu lösen, so dass man eine Schar von Normalenvektoren für erhält und anschließend den aussucht, der senkrecht zu dem Normalenvektor von steht? In der Mathematik fürhen oft viele Wege zum Ziel, nur ist es normalerweise sinnvoll den einfachsten bzw. den schnellsten zu wählen. Ich lasse mich natürlich auch gerne vom Gegenteil überzeugen, aber ich denke hier ist der folgende Weg einfacher. Ich würde da eher so vorgehen, wie du es anscheinend schon versucht hast, Corbis. 1. Versuchen den Normalenvektor von zu finden: Ich weis leider nicht, wie du auf gekommen bist, aber soweit ich das überblicken kann, ist dieser falsch. Für sucht man sich zuerst zwei Vektoren parallel zur Ebene - Der Vektor muss auf der Ebene liegen, da A und auf der Ebene liegen sollen. - Der Normalenvektor von muss parallel zu bzw. einige Repräsentanten auf liegen, da senkrecht zu verlaufen soll. Da die beiden Vektoren parallel zu liegen, ergibt das Vektorprodukt dieser einen Normalenvektor von Hier ein möglicher Normalenvektor: Dadurch erhälst du: Das ist der Punkt, an dem du nicht mehr weiterkamst, oder? Du musst nun bedenken, dass die Gleichung für die Koordinaten der Punkte A und wahr sein muss, da diese ja auf der Ebene liegen sollen. Welchen Punkt du verwendest ist egal. Wenn bisher richtig gerechnet wurde, muss das Gleiche für herauskommen: A einsetzen: einsetzen: |
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Corbis hat den Normalenvektor wahrscheinlich gewählt, indem er sich direkt einen Vektor überlegt hat, der zum Normalenvektor von orthogonal ist. Theoretisch hätte dieser auch funktionieren können. Nein, Mi.St.: Wenn ich das System löse, habe ich bereits genau alle Vektoren raus, mit denen die Aufgabe lösbar ist, also die Vielfachen von ; man muss dann keinen raussuchen, der senkrecht ist. Das System ist nach 2 Schritten gelöst und damit auch die Aufgabe, weshalb letztendlich meine Lösung doch schneller ist. Ich finde persönlich das Berechnen eines Kreuzproduktes auch fehleranfälliger als zwei Schritte in einem LGS. Eine kleine formale Sache: Ein Vektor kann nicht „auf einer Ebene“ liegen, da er keinen Ort beschreibt. Man könnte vllt. sagen, die Strecke zwischen A und B liegt in der Ebene, weshalb jede Gerade oder Strecke mit dem Richtungsvektor parallel zu dieser Ebene ist. |
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Alternativ wäre auch noch eine Überlegung wert. |
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Ja, das ist sehr schön! Da meint man es gut und denkt über Berechnungsmöglichkeiten nach und könnte eine Lösung sofort hinschreiben... |
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anonymous 16:43 Uhr, 26.12.2010 |
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Stimmt, steht ja nicht, dass eine bestimmte Form gesucht ist.. Und, wie es aussieht, habe ich deinen Beitrag nicht aufmerksam genug durchgelesen, Mauthagoras. Ich dachte zuesrt du meintest etwas anderes. |
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Jedoch habt ihr ja genau das Richtige getan, nämlich zuerst auf die eigene Idee des Fragestellers einzugehen und diese weiter verfolgt bzw korrigiert. Ich habe diese Möglichkeit nur für den Fall erwähnt, falls der Fragesteller oder andere Mitleser noch nach einer alternativen Möglichkeit interessiert sind. |
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Erst mal vielen Dank für eure Ideen/Lösungen! @BjBot: Ja natürlich, klar der einfachste Lösungsweg. Hätte man aber auch wirklich selbst drauf kommen können.... @Mauthagoras: Soweit ich das überblicke ist dein Ansatz falsch, da du als Bedingung eine Orthoganlität zwischen dem Normalenvektor und den Ortsvektoren der Punkte formulierst. @Mi.St. den Normalenvektor habe ich, wie Mauthagoras schon gesagt hat durch Überlegung herausgefunden: Die Koeffizienten der Ebenengleichung von sind die Koordinaten seines Normalenvektors. Dann setzt man eine Koordinate gleich null, vertauscht die anderen beiden und ändert das Vorzeichen von einem der Beiden. Das Skalarprodukt ergibt 0. Jetzt passiert aber folgende Kuriosität: A und erfüllen bei dir die Ebenengleichung, für meine tun sie es nicht: A einsetzen: einsetzen: Und das obwohl auch mein Normalenvektor zum Nvektor von orthogonal ist! Jetzt könnte man sich natürlich fragen, wozu ich rummoser wenn BjBot schon eine elegante Gleichung geliefert hat, aber die Aufgabe steht nunmal im Buch beim Thema der Normalenform bzw. speziell bei der Orthogonalität von Geraden und Ebenen. Ich würde eben gerne wissen wie man dann die Aufgabe vor diesem Hintergrund lösen müsste. Das Vektorprodukt ist dem linientreuen Schüler an dem Punkt übrigens auch noch nicht bekannt ;-). Neben der Aufgabe noch folgender Tipp: Überlegen Sie, was Sie einfacher bestimmen können: zwei Spannvektoren von oder einen Normalenvektor von F. Die Aufgabe findet sich übrigens im LS Analytische Geometrie mit linearer Algebra (Leistungskurs)vom Klett Verlag auf Nr.5. Danke für eure Geduld+Nachsicht |
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Mein Ansatz ist nicht falsch. Du müsstest beim Lesen gemerkt haben, dass Mi.St. und ich uns bei der Lösung einig waren. Die erste Gleichung ist Orthogonalität der beiden Normalenvektoren und die zweite Gleichung entsteht, wenn man die beiden Gleichungen, die entstehen, weil A und B auf der Ebene liegen sollen, gleichsetzt. Außerdem sollte niemand einen Ansatz posten, von dem er nicht weiß (durch probieren oder wie auch immer), dass er zum Ziel führt. Du hast einen Normalenvektor rausbekommen, der, wie gesagt, richtig hätte sein können. Weil aber A und B eben bestimmt gewählt sind, muss das nicht sein; und hier war es auch nicht so. Die beiden Punkte sorgen dafür, dass der Normalenvektor eine bestimmte Form haben muss. Das ist also keine Kuriosität, sondern die Wahl eines beliebigen Normalenvektors war Glückssache. Wenn Du etwa gleich zufällig die x-Koordinate 0 gesetzt hättest, wäre es richtig gewesen. |
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anonymous 18:41 Uhr, 26.12.2010 |
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Mauthagoras macht nichts dergleichen. Er denkt einfach nur: Der Normalenvektor von und der Normalenvektor von sollen senkrecht zueinander verlaufen, daher ergibt ihr Skalarprodukt 0: Weiterhin kann eine Ebene allgemein durch solch eine Gleichung beschriebenwerden: Wobei A und auf der Ebene liegen sollen, daher müssen diese war werden, wenn man die entsprechenden Koordinaten einsetzt: Gleichsetzen der beiden Gleichungen führt zu: Also hat man nun die beiden Gleichungen von Mauthagoras, die ein Gleichungssystem bilden, welches die Normalenvektoren von als Lösung hat: Und, dass bei mir für A und das Gleiche für herauskommt und bei dir nicht ist keine Kuriosität. Kurios bzw. einfach Zufall wäre es, wenn das bei dir so wäre. Grund: Du hast einfach irgendeinen Vektor genommen, der zwar senkrecht zum Normalenvektor von verläuft. Aber auch nur das tut er. Dieser verläuft nicht senkrecht zu weshalb A und auch nicht gleichzeitig auf einer Ebene liegen können, wenn du den von dir gewählten Vektor als Normalenvektor für verwendest. Du musst, wie Mauthagoras schon erwähnt hat nicht irgendeinen nehmen der senkrecht zu ist sondern ihn erstmal allgemein lassen und ausrechnen, welche Vektoren beide Bedingungen erfüllen und davon einen verwenden. Edit: Ich sollte mir vielleicht mal angewöhnen, mich kürzer zu fassen.(^_^) |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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