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Aufgabe Satz über implizite Funktionen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Peter857 aktiv_icon

19:28 Uhr, 22.09.2018

Hallo,

folgende Aufgabe möchte ich lösen:

F (x, y, z) = {(- 2 x^{2} + y^{2} + z^{2}, x^{2} + e^{y - 1} - 2 y)}^{T}

Nun, soll mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen gezeigt werde, für welche Punkte

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

das Gleichungssystem aufgelöst werden kann.

Es muss ja gelten:

f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = {(0,0)}^{T},

das ist ja bei

(1,1,1)

der Fall. Aber gibt es noch mehr Möglichkeiten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:42 Uhr, 22.09.2018

Hallo
du meinst wohl

F = 0

soll nach

x

oder

y

oder

z

aufgelöst werden, das hat nichts direkt damit zu tun, für welche Punkte

(x, y, z) f = 0

ist.
was sagt denn der Satz über implizite Funktionen?
Gruß ledum

Peter857 aktiv_icon

19:53 Uhr, 22.09.2018

Hallo,

oh hatte ich vergessen, es soll nach

(y, z) T = g (x)

aufgelöst werden.

Peter857 aktiv_icon

19:56 Uhr, 22.09.2018

Also laut dem Satz müsste:

F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0,

F

stetig diffbar

pwmeyer aktiv_icon

12:03 Uhr, 23.09.2018

Hallo,

schau doch bitte nochmal den Satz über implizite Funktionen nach - am besten in der Form, die Ihr behandelt habt.

Gruß pwm

Peter857 aktiv_icon

13:35 Uhr, 23.09.2018

So haben wir das gemacht. kann mir das jemand einmal erklären, wie ich die Aufgabe bearbeite?

gilgamesch4711 aktiv_icon

16:24 Uhr, 23.09.2018

Kennst du?

\Rightarrow

Reinhart Mey; " Der Pfeifer " ( Youtube )

" Ich kam aus San Antonio / Im letzten Abendlicht
Vielleicht war's auch San Alfredo / So genau weiß ich das nicht
Ich weiß nicht, wo ich herkomm / Ich weiß nicht mal, wie ich heiß
IM WESTEN IST ES NIEMALS GUT, WENN MAN ZU VIEL WEISS

. .

. "

Weil - bei der Konkurrenz Matelounge HABEN sie mich mehrfach deaktiviert, weil ich zu viel weiß. Ich erwähne das deshalb: Bei denen darfst du nicht mal Original Aufgabenblätter hochladen. Bis denen eines Tages ein User mit Klage drohte, " hektografierte Blätter sind nicht urheberrechtlich geschützt. "
Das Experiment wurde doch gemacht. Ich erzähle dir eine Story; und du weißt doch, was davon übrig bleibt, wenn hinterher der

20

. in der Kolonne berichten soll, was er verstanden hat

. .

.
Warum traust du dich eigentlich nicht, die Original aufgabe hochzuladen? Was du uns bietest, ist ein ziemliches Chaos.
Schau dir mal das IFT an auf Wiki. Stets muss die Jacobimatrix quadratisch ausfallen; wenn du mithin nach ZWEI Funktionen

y = y (x)

und

z = z (x)

auflöst, brauchst du auch zwei implizite Identitäten

F

UND

G

. Es spricht nicht grad für dich, dass hier schon mehrerre Missverständnisse allein bei dem Aufgabentext aufgetreten sind, bevor auch nur irgendeiner was gemacht hat. So wie ich das verstehe.

F (x; y; z) := y

+ z

- 2 x

= 0 (1 a)

G (x; y; z) := x

+ \frac{e^{y}}{e} - 2 y (1 b)

Was oft vergessen wird. Das IFT gibt dir nicht wirklich ein Kochrezept, nach den Funktionen

y

und

z

umzustellen. Stets brauchst du das, was ich einen " Funktionenkeim " nenne; ( Bei den Programmierern heißt dieser Anfangswert ja auch " Seed "

),

also eine Stelle

x_{0}

so dass

\exists y_{0} := y (x_{0}); z_{0} := z (x_{0}) (2)

( Nicht jede Funktion ist automatisch in

x_{0}

definiert; dafür übernimmt das IFT keine Pistole - äh Gewähr. Es wird auch nicht gesagt, wie viel Keime dass es zu

x_{0}

gibt. )

Ich habe jetzt bei Wolfram gespickt; mit den Eigenschaften der

\Rightarrow

Lambertschen W-Funktion bin ich zufällig vertraut.

y

scheint in Ordnung zu gehen von dem Definitionsbereich der W-Funktion her. Dagegen haut es auch hin mit der Diskriminante unter der Quadratwurzel von

z

? Keine Ahnung;

max

Zeichen .

gilgamesch4711 aktiv_icon

16:59 Uhr, 23.09.2018

Deine Jacobimatrix lautet

J := \frac{(\partial) (F; G)}{(\partial) (y; z)} = (\begin{matrix} 2 y & 2 z \\ \frac{e^{y}}{e} - 2 & 0 \end{matrix}) (2.1)

wie gesagt - der Definitionsbereich deiner Funktionen ist umstritten. Wo gibt es für

z,

keine, eine oder zwei Lösungen?
Die Aussage des IFT : So lange

J

regulär ist, gibt es ein ( offenes ) x_Intervall, auf dem die Funktionen diffbar sind. Singulär wird

J

einzig für

z = 0

. Laut Wolfram sind dies zwei isolierte Punkte; mithin nicht auflösbar in einer Umgebung.
Obgleich die Aussage des IFT nur hinreichend ist, nicht notwendig.

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