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Aufgabe Satz von de Moivre Laplace

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Normalverteilung, Satz von de Moivre Laplace

Daniel90 aktiv_icon

14:18 Uhr, 18.09.2023

Hallo, ich habe eine Aufgabe gerechnet, da ich mich für eine Klausur vorbereite, wäre sehr nett, wenn da mal jemand drüber gucken könnte.

Aufgabe:

Ein Kuchenproduzent verwendet pro Palette Muffns

900

Huhnereier. Er bestellt dieseEier bei einem Großhandler, der angibt, dass die Wahrscheinlichkeit dafur, dass einvorgegebenes Ei zerbrochen ist,

1 %

beträgt.Zerbrochene Eier konnen nicht verwendet werden.

\cdot

Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von de Moivre-Laplace näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafur, dass mehr als

100

der fur eine Palette Muffins bestellten Eier zerbrochen sind.

\cdot

Sind zu viele Eier zerbrochen und somit nicht verwendbar, so kommt es zu Lieferverzogerungen bei den Muffins. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine solche Lieferverzogerung auftritt, betrage

5 %

. Wie viele Eier dürfen dann höchstens zerbrochen sein, ohne dass es zu einer Lieferverzögerung bei den Muffns kommt?

Meine Lösung:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

15:17 Uhr, 18.09.2023

Du meinst offenbar die zweite Teilaufgabe, denn die erste (mehr als

100

zerbrochene Eier) ist etwas eigenartig, da die WKT dafür de facto Null ist. Steht da wirklich

100

in der Angabe oder nicht vielleicht doch

10

?

In der viertvorletzten Zeile deine Rechnung müsste rechts stehen

= z_{0,005} \cdot \frac{9 \cdot \sqrt{11}}{10}

und nicht der Kehrwert.
Der rest ist dann aber wieder richtig, auch wenn ich nicht verstehe, wieso du die einfache Rechnung so kompliziert in Division durch den Kehrwert umschreibst.

Allerdings hast du nicht das Geforderte berechnet!

Du hast mit

x \approx 3,75

berechnet, dass mit einer WKT von

5 %

nicht mehr als

3,75

Eier zerbrochen sind. Deswegen wird aber die Muffin-Produktion nicht verzögert.
Du hast dich quasi auf die

5 %

unter dem linken Teil der Gaußkurve geworfen, aber gefragt waren die

5 %

unter dem rechte Teil. Dort, wo also zu viele Eier zerbrochen sind.
Das ist natürlich symmetrisch und du kannst daher deinen Wert am Mittelwert

μ

spiegeln

\to 2 \cdot, u - x \approx 14,43

. Es müssen also mindestens

15

defekte Eier in der Lieferung zerbrochen sein, damit die Muffinsproduktion ins Stocken kommt.

Du hättest in deiner Rechnung von Haus aus die

0,05

durch

0,95

ersetzen müssen. Denn zu

95 %

kommt die Produktion nicht ins Schleudern und die Frage kann auch so formuliert werden, wie viele Eier höchstens mit einer WKT von

95 %

zerbrochen sein dürfen.
Im Grunde werden dadurch nur der Quantilwert

- 1,65

in deiner Rechnung durch

+ 1,65

ersetzt.

Daniel90 aktiv_icon

17:47 Uhr, 18.09.2023

Danke für die Antwort, habe dazu aber noch Fragen.

Vorerst aber, da du fragtest, ob dort nicht vielleicht doch eine

10

stehen würde, definitiv nicht, ist eine

100,

deshalb hab ich die Aufgabe auch nicht richtig geschnallt.

Meine Frage: Warum ist die

1.65

positiv ? Ansonsten ist es doch immer so, dass wenn der Wert in der Tabelle nicht zu finden ist, ich es negieren muss.

Suche ich

z . b

den Wert für

40 %

gucke ich in der Tabelle, wo ca

0,6

steht und mache dort dann ein Minuszeichen vor. Warum ist das jetzt hier nicht der Fall. Hattest du mir zwar erklärt, so ganz verstanden habe ich es aber nicht.

Hier noch einmal ein Update, vielleicht kannst du da ja nochmals drüber gucken.

Roman-22

18:35 Uhr, 18.09.2023

>

Meine Frage: Warum ist die

1.65

positiv ? Ansonsten ist es doch immer so, dass wenn der Wert in der Tabelle nicht zu finden ist, ich es negieren muss.

Ja, aber du solltest ja den Wert

z_{0,95}

verwenden und der ist in der Tabelle (positiv) zu finden, oder?

Du hast die Aufgabe textlich vermutlich nicht richtig aufgefasst.
Die Muffinproduktion stockt, wenn zu viele Eier defekt sind und sie tut das mit einer Wahrscheinlichkeit von

5 %

.
Die Frage ist daher, wie viele Eier mit 5%iger WKT mindestens zerbrochen sein müssen.

Du hast ausgerechnet, dass höchstens

3,6

Eier mit der WKT

5 %

zerbrochen sind, was umgekehrt ja heißt, das mit 95%iger Wahrscheinlichkeit mindestens

3,6

Eier zerbrochen sind.
In nachstehendem Graph der Gauß-Kurve entsprechen beide schraffierten Flächen je einer 5%igen Wahrscheinlichkeit. Du hast die linke Grenze berechnet, aber gefragt war die rechte, denn ab da sind es zu viele zerbrochene Eier für die Muffin-Produktion.

In deiner neuen Rechnung müsste es also zu Beginn

P (z > x) = 0,05

lauten, woraus dann

P (z < x) = 0,95

folgt und du daher mit dem (positiven) Wert für

z_{0,95}

rechnen musst.

z_{0,05}

wäre negativ, da hast du schon Recht. Nur benötigen wir

z_{0,05}

für die Aufgabe nicht.

Den ersten Teil der Aufgabe (mehr als

100

zerbrochene Eier) hast du grundsätzlich richtig. Der Wert ist nicht in der Tabelle bzw. gerundet mit 1 angegeben, da er nur seeeeeeehr gerinfügig unter 1 liegt. Die gesuchte WKT ist daher nur marginal größer als

0 -

eben de facto Null. Laut meinem CAS ist er rund

3,9 \cdot 10^{- 21}

Ich vermute einen Druckfehler in der Angabe.

Daniel90 aktiv_icon

11:32 Uhr, 19.09.2023

Möchte mich ersteinmal für die Tolle Hilfe bedanken. Ich habe jetzt verstanden was du meinst, auch wenn mir das Thema Schwierigkeiten bereitet. Ich habe das mal versucht zu verbessern, passt das jetzt so ?

Zum Thema Druckfehler. Das halte ich für unwahrscheinlich, da es sich um eine Altklausur handelt.

Roman-22

14:11 Uhr, 19.09.2023

Soweit passt es. Es fehlt noch die konkrete Antwort auf die gestellte Frage

\to

"... höchsten

14

..."

Hast du einen Link zur Original-Klausuraufgabe?

Daniel90 aktiv_icon

14:15 Uhr, 19.09.2023

Einen Link nicht direkt, habe nur die Altklausur als PDF. Da ich am

04.10.23

schreiben möchte wollte ich mal fragen. Kann ich hier noch weitere Aufgaben Posten und dazu fragen stellen ?

Hatte zwar schon Nachhilfe, mache ich jetzt aber nicht mehr, da es einfach unglaublich Mühsam ist, eine geeignete Person zu finden und das kostet jedes mal Kohle.

Roman-22

14:24 Uhr, 19.09.2023

>

wollte ich mal fragen. Kann ich hier noch weitere Aufgaben Posten und dazu fragen stellen ?
Nur zu, dafür ist das Forum ja da!

Daniel90 aktiv_icon

14:40 Uhr, 19.09.2023

Hier ist die nächste Aufgabe.

Meine Überlegung:

Unser

n

sind diese

12288

Bit, als

p

definieren wir

0,98,

da zu

98 %

jedes Bit nicht fehlerhaft ist. Dann kann man einfach den Erwartungswert und die Standardabweichung berechnen. Keine Ahnung ob das bis hierhin richtig ist, bis zu diesem Punkt habe ich aber zumindestens eine Idee.

Danach wird es dünn. Was ist denn dann unser

x

Wert ?

Roman-22

22:20 Uhr, 19.09.2023

Ich würde von der Fehlerwahrscheinlichkiet

p = 0,02

ausgehen, nicht von der Gegenwahrscheinlichkeit.

2 %

von

12288

bit sind rund

245,8

bit.
Die Datenrettung wird als erfolgreich sein, wenn maximal

245

bit fehlerhaft sind

\to P (x < 245)

P . S . :

Für eine neue Aufgabe empfiehlt es sich immer, auch eine neuen Thread aufzumachen. Das ist übersichtlicher und zieht auch mehr potentiellen Antwortgeber an.

Daniel90 aktiv_icon

11:23 Uhr, 20.09.2023

Das mit dem neuen Thread ist eine gute Idee, wollte das Forum hier nicht voll müllen, da wahrscheinlich noch einige Fragen kommen werden.

Deinen Gedankengang hatte ich zuerst auch, was ich aber nicht ganz kapiere ist folgendes.

Ich rechne

n \cdot p,

also

12288 \cdot 0,02 = 245,75,

dass ist dann der Erwartungswert und gleichzeitig unser

P (x < 246)

Roman-22

11:48 Uhr, 20.09.2023

< 245,

denn bei

245,9

versagt die Datenrettung ja bereits.
Ansonsten - ja und deshalb kann man das Ergebnis auch ohne Rechnung mit

50 %

angeben

Daniel90 aktiv_icon

12:23 Uhr, 20.09.2023

Okay, danke.

Ich habe die Aufgabe jetzt mal so gemacht, wie ich diese mit deiner Hilfe verstanden habe. Hoffe da ist jetzt alles, auch von der Schreibweise, korrekt.

Roman-22

15:44 Uhr, 29.12.2023

Nein!

P (X \geq x) \neq Φ (\frac{x - μ}{σ})

Vielmehr gilt

P (X < x) = Φ (\frac{x - μ}{σ})

Wobei bei stetigen Verteilungen kein Unterschied zwischen

<

und

\leq

oder

>

und

\geq

gemacht wird.

Richtig wäre in deinem Beispiel daher

P (X \leq 245) = Φ (\frac{245 - 245}{...}) = Φ (0) = 0,5

Besser würde mir eine Lösung ohne Rechnung gefallen. Also nur die Feststellung, dass, wenn im Schnitt (Mittelwert, Erwartungswert)

2 %

der Bits defekt sind, die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens

2 %

defekt sind, natürlich genau

50 %

beträgt. Begründet werden kann das mit der Symmetrie der NV um den Mittelwert

μ

.

ALLERDINGS:

μ

ist ja nicht genau

245,

wie von dir in deiner Rechnung angegeben, sondern

μ = 245,76

Benützt man diesen genaueren Wert, so ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von

P (X < 245) = 48,047 %

Mit Stetigkeitskorrektur

P (X < 245,5) = 49,332 %

Natürlich könnte man bei der stetigen Verteilung auch argumentieren, dass die Datenrettung funkt auch wenn man bis zu

245,76

fehlerhafte bits hat und daher die WKT wie vorhin begründet genau

50 %

beträgt.

Rechnet man übrigens 'genau' mit Binomialverteilung, so erhält man

P (X \leq 245) = \sum_{k = 0}^{245} [(\begin{matrix} 12288 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,02}^{k} \cdot {0,98}^{12288 - k}] \approx 49,743 %

Ich vermute aber, dass in der Schule die Variante mit der Stetigkeitskorrektur die gewünschte und erwartete ist.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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