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Aufgabe: Sei (G,*) eine Gruppe. Zeigen Sie...

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, LinAlg1, Lineare Algebra

James-Chakrus aktiv_icon

11:58 Uhr, 21.03.2019

Hallo!

Bei meinem Arbeitsauftrag für LinAlg1, bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen und komme nicht weiter. Ich habe mir die Vorlesung zu Gruppen angsehen, das Skript durchgearbeitet und meine zwei Mathebücher durchwälzt, aber ich versteh nicht, wie ich anfangen soll diese Aufgabe zu beweisen. Gilt, dass Sternchen als Verknüpfung oder als Mal?

Sei

(G, ⋆)

eine Gruppe. Das zu a aus

G

inverse Element bezeichnen wir mit

a^{- 1}

. Zeigen Sie, dass für

a, b, c

aus

G

stets gilt
(i)

{(a ⋆ b)}^{- 1} = {(a)}^{- 1} ⋆ {(b)}^{- 1}

(ii)

{(a^{- 1})}^{- 1} = a

(iii)

a ⋆ c = b ⋆ c \Rightarrow a = c

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

12:28 Uhr, 21.03.2019

Die Gruppenbezeichnung lautet ja

(G, *)

, somit ist mit * die Gruppenoperation gemeint. Eine andere Operation "mal" ist hier auf Menge

G

ja gar nicht erklärt.

Gleichung (i) stimmt für nichtabelsche Gruppen i.a. NICHT - sicher, dass du dich nicht verschrieben hast? Stattdessen würde

(i)

(a * b)^{- 1} = (b)^{- 1} * (a)^{- 1}

mehr Sinn machen. Genauso sollte (iii) besser

(iii)

a * c = b * c \Rightarrow a = b

heißen.

James-Chakrus aktiv_icon

12:34 Uhr, 21.03.2019

jah so wie du das korrigiert hast, stimmt des...

Wie fang ich am besten mit den Aufgaben an?

michaL aktiv_icon

13:27 Uhr, 21.03.2019

Hallo,

bei (i) und (ii) finde je ein Element, zu dem beide invers sind. Aufgrund der Eindeutigkeit des Inversen müssen dann beide Elemente jeweils gleich sein.

Bei (iii) musst du die Gleichung nur mit dem Inversen von

c

multiplizieren.

Mfg Michael

James-Chakrus aktiv_icon

13:32 Uhr, 21.03.2019

Heißt das dann bei

(i)

zum Beispiel... wenn

e

das neutrale Element

?

e \cdot {(a \cdot b)}^{- 1} = {(e \cdot b)}^{- 1} \cdot {(e \cdot a)}^{- 1} = b^{- 1} \cdot a^{- 1}

HAL9000

13:49 Uhr, 21.03.2019

> bei (i) und (ii) finde je ein Element, zu dem beide invers sind. Aufgrund der Eindeutigkeit des Inversen müssen dann beide Elemente jeweils gleich sein.

Genauso klappt es. Bei (i) ist

(a * b)^{- 1} * (a * b) = e

, so ist die Inverse von

(a * b)

ja definiert.

Und jetzt rechne mal aus, was bei

(b^{- 1} * a^{- 1}) * (a * b)

herauskommt - vielleicht indem man eine andere Klammerung vornimmt (Stichwort: Assoziativgesetz) ...

James-Chakrus aktiv_icon

14:32 Uhr, 21.03.2019

Aso des is dann

(b^{- 1} ⋆ b) ⋆ (a^{- 1} ⋆ a)

weil

e

dabei rauskommt?
weiteres

(b^{- 1} ⋆ b ⋆ a^{- 1}) ⋆ a = b^{- 1} ⋆ (b ⋆ a^{- 1} ⋆ a)

HAL9000

14:52 Uhr, 21.03.2019

Bitte aufpassen!

Wir sind bei

(b^{- 1} * a^{- 1}) * (a * b)

, und wollen das vereinfachen. Das Assoziativgesetz gestattet es, die Klammern anders zu setzen - es gestattet aber NICHT, die Reihenfolge der Operanden zu ändern! Letzteres wäre das Kommutativgesetz, welches bei einer allgemeinen Gruppe NICHT vorausgesetzt wird.

Konkret bedeutet das

(b^{- 1} * a^{- 1}) * (a * b) = b^{- 1} * (a^{- 1} * (a * b)) = b^{- 1} * ((a^{- 1} * a) * b) = b^{- 1} * (e * b) = b^{- 1} * b = e

.

D.h., es wurde wirklich nur (und das mehrfach) Assoziativgesetz

(u * v) * w = u * (v * w)

genutzt, nicht aber das (hier eben i.a. nicht geltende) Kommutativgesetz

u * v = v * u

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