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Aufgabe - Untergruppe von Ganzen Zahlen
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Ganze Zahlen, Gruppen
 
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Hallo, kann mir jemand Zeigen wie ich folgende Aufgabe lösen kann: ist eine Gruppe. Eine unleere Teilmenge von heißt Untgergruppe von wenn für alle auch das Element sowie das Inverse liegen. Es sei nun die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Additon als Verknüpfung, und für sei . Wie kann ich Zeigen, dass eine Sub-Gruppe von ist? Sind die geraden Zahlen oder ungeraden Zahlen eine Sub-Gruppe von ? Vielleicht kann sich der Aufgabe einer annehmen... Vielen Dank!!! Viele Grüße Adrjan Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Zunächst solltest Du Dir klar machen, welche Zahlen beispielsweise zur Menge gehören. "Wie kann ich Zeigen, dass eine Sub-Gruppe von ist?" Nun ja, in der Definition der Untergruppe steht doch gerade, welche beiden Eigenschaften Du überprüfen musst! "Sind die geraden Zahlen oder ungeraden Zahlen eine Sub-Gruppe von ?" Auch hier musst Du diese beiden Bedingungen überprüfen. Hinweis: Genau eine der beiden Mengen erfüllt die Untergruppeneigenschaften. |
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Vielen Dank für Deine Antwort. Leider verstehe ich das Ganze nicht. Wie kann ich die beiden Eigenschaften überprüfen? Es wäre hilfreich wenn Du mir das anhand der Aufgabe beispielhaft zeigen könntest. |
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Ich helfe Dir gerne bei der Aufgabe. Aber ich bin kein Fan von reinem Vorrechnen. Wenn Du Dich selbst damit beschäftigst, dann hast Du mehr davon. Diese Aufgabe ist übrigens keine typische Aufgabe für den Schulunterricht. Woraus besteht denn jetzt die Menge ? |
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Ist das richtig? Ich dachte mir, dass ich es so besser nachvollziehen kann wenn ich mal eine vollständige Beispielaufgabe sehe. |
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Möglicherweise denkst Du an Restklassen modulo 5. Das steht aber nicht da! Dort steht: Setze dort für bitte beliebige ganze Zahlen ein... |
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5ℤ=5⋅k|k∈ℤ} 1∈ℤ 2∈ℤ 3∈ℤ 4∈ℤ 5∈ℤ Wäre damit das richtig? 5ℤ=6,10,15,20,25} |
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In liegen aber noch ein paar Zahlen mehr als die von 1 bis 5. sind alle durch 5 teilbaren ganzen Zahlen. |
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mhhh müssten es dann dann nicht alle positiven ganzen Zahlen sein? Also 5ℤ= Da 5ℤ=5⋅k|k∈ℤ} gilt für . |
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Nein, da steht doch eindeutig . sind die ganzen Zahlen, also auch negative ganze Zahlen. (Allerdings steht da |
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Kannst Du mir das bitte erklären? bedeutet doch, dass stets immmer ein Teiler von ist. Somit müsste die Menge von alle ganzen Zahlen multipliziert mit 5 entsprechen?! |
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"n⋅k bedeutet doch, dass stets immmer ein Teiler von ist. " Das ist Blödsinn. "Somit müsste die Menge von 5ℤ alle ganzen Zahlen multipliziert mit 5 entsprechen?!" Das ist vollkommen richtig. Ich muss jetzt leider weg. Schaue mir das heute Abend nochmal an. |
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Kann man das dann mathematisch so ausdrücken ? Wie mache ich nun weiter? Bis später. |
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Wir nehmen uns nun zwei beliebige durch teilbare Zahlen, sagen wir und mit . Jetzt musst Du zeigen, dass die Summe, also wieder in liegt, . durch teilbar ist. Die zweite Bedingung betrifft das inverse Element. Wie sieht denn das inverse Element bzgl. der Addition von aus? Wenn Du dieses gefunden hast (ist nicht schwierig), musst Du nur noch zeigen, dass auch diese Zahl in liegt, also durch teilbar ist. |
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n⋅a+n⋅b in Ich tue mir hier schwer mit dem Beweisen. Eine natürliche Zahl multipliziert mit einer ganzen Zahl liegt doch immer im Bereich der ganzen Zahlen und somit auch eine Addition davon. |
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Ich würde sagen, Du tust Dich schwer mit den ganzen Formalismen. Mich wundert das nicht. Wie gesagt, eine solche Aufgabe ist nicht üblich in der Schule, eher in einem Vorkurs oder erstem Semester eines Mathestudiums. An sich ist diese Aufgabe aber überhaupt nicht schwierig. "Eine natürliche Zahl multipliziert mit einer ganzen Zahl liegt doch immer im Bereich der ganzen Zahlen und somit auch eine Addition davon." Das stimmt natürlich. Aber Du sollst ja nicht zeigen, dass sondern dass es in liegt, . durch teilbar ist. |
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Sorry für die späte Rückmeldung. Ich habe es jetzt per Addition versucht: Also: Es seien beliebig und eine Untergruppe von a+b∈nℤ:z+z = 2z∈nℤ nz+nz = 2nz in nℤ 2nz+2zin nℤ Aber ab hier komme ich mit dem Beweis nicht weiter. |
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"a+b∈nℤ:z+z = 2z∈nℤ" Das verstehe ich nicht! "nz+nz = 2nz in nℤ" Das geht in die richtige Richtung. Allerdings addierst Du immer zwei gleiche Elemente aus . Das musst Du auch für zwei verschiedene Elemente zeigen, deshalb habe ich vorgeschlagen. Fragen zur zweiten Bedingung: Was ist das neutrale Element bzgl. der Addition? Was ist dann das inverse Element zu ? Liegt dieses inverse Element auch in ? |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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