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Aufgabe aus der Vorlesung!

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Tags: Sonstig

Master9362 aktiv_icon

14:56 Uhr, 05.07.2020

Es sei

V

ein endlich-erzeugter

ℝ

-Vektorraum. Eine komplexe
Struktur auf

V

ist ein Endomorphismus

J : V

→

V

mit der Eigenschaft

J^{2} =

−

i d_{v}

.
(a)Wie zeige ich, dass

V

mit der gegebenen Addition von Vektoren und der durch

(a + i b)

∙

v := a v + b J (v)

.
definierten Skalarmultiplikation ein C-Vektorraum ist.

(b)

Wie zeige ich, dass der reelle Vektorraum

V^{ℂ} := V

⊗

ℂ

genau eine komplexe Struktur

J

hat mit der Eigenschaft

J (v

⊗

z) = v

⊗

i z

. Der daraus mit

(a)

gewonnene C-Vektorraum heißt die Komplexifizierung von

V

(c)

Wie zeige ich, dass es einen Isomorphismus gibt:

{(V^{ℂ})}_{ℝ} ≅ V

⊕

V

.

Problem: ich hatte diese Aufgabe bei der Vorlesung, aber ich habe die Lösung verpasst.
Könnte mir jemand bitte bei der Lösung helfen, weil ich mich gerade für die Prüfung vorbereite und leider nicht so viel Zeit verlieren kann.
Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ermanus aktiv_icon

15:41 Uhr, 05.07.2020

Hallo,

zu (a) musst du nur die Vektorraumaxiome, die sich
auf die Skalarmultiplikation beziehen, überprüfen.
Seien dazu

α := a + b i, γ = c + d i \in ℂ

und

u, v \in V

.
Dann musst du zeigen:

1.

α \cdot (u + v) = α \cdot u + α \cdot v

,
2.

(α + γ) \cdot u = α \cdot u + γ \cdot u

,
3.

α \cdot (γ \cdot u) = (α γ) \cdot u

,
4.

1 \cdot u = u

.

1.,2. und 4. sind fast "Selbstgänger". Wirklich wichtig ist 3..
Versuche erst einmal 3. selbst, bin nun für ca. eine halbe Stunde offline,
dann aber wieder "verfügbar" ;-)

Gruß ermanus

Master9362 aktiv_icon

16:34 Uhr, 05.07.2020

Ja, vielen Dank! ich habe es versucht und die gleiche Antwort gekriegt.
Könnten Sie bitte noch bei

b)

und

c)

weiter helfen?

ermanus aktiv_icon

17:07 Uhr, 05.07.2020

Zu (b):
Überlege dir, dass

V \times ℂ \to V \otimes ℂ

mit

(v, z) \mapsto v \otimes i z

eine

ℝ

-bilineare Abbildung ist.
Wegen der universellen Eigenschaft von "

\otimes

" gibt es dann genau eine
lineare Abblidung

J : V \otimes ℂ \to V \otimes ℂ

mit

J (v \otimes z) = v \otimes i z

.
Nun zeige, dass

J^{2} (v \otimes z) = - i d (v \otimes z) = - v \otimes z

ist.
Da dann

J^{2}

mit

- i d

auf den Erzeugenden

v \otimes z

übereinstimmt,
gilt insgesamt

J^{2} = - i d

.

Um (c) zu zeigen, nimm dir eine Basis für

V

und die Basis

{1, i}

von

ℂ

über

ℝ

.
Du musst ja nur zeigen, dass die Dimensionen übereinstimmen ...

Gruß ermanus

Master9362 aktiv_icon

17:14 Uhr, 05.07.2020

Vielen Dank !

Master9362 aktiv_icon

18:02 Uhr, 05.07.2020

Darf ich Sie noch fragen, welche Dimensionen übereinstimmen soll?!
Ich weiß, dass ich so viele Frage stelle, aber ich versuche die Aufgabe nur gut verstehen!
Vielen Dank!

ermanus aktiv_icon

18:19 Uhr, 05.07.2020

Na, du willst doch in (c) die Isomorphie von
zwei

ℝ

-Vektorräumen zeigen ...
Zwei endlich dimensionale Vektorräume sind genau dann
isomorph, wenn sie dieselbe Dimension haben.

Master9362 aktiv_icon

18:28 Uhr, 05.07.2020

Ja, ich weiß was es bedeutet. Ich meinte ,wie kriege ich die Dimensionen ?!

ermanus aktiv_icon

18:35 Uhr, 05.07.2020

Sei

n = d i m (V)

. Dann hat

V

eine

n

-elementige Basis,

ℂ

hat die Dimension

2

, z.B. die Basis

{1, i}

in dem Thread
www.onlinemathe.de/forum/Lineare-Algebra-Vorbereitung
steht ja, wie die Basis des Tensorproduktes aussieht.
Und wie die Dimension von

V \oplus V

ist, dürfte klar sein.

Master9362 aktiv_icon

18:46 Uhr, 05.07.2020

Ich bedanke mich bei Ihnen!

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