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Aufgabe freies Pordukt

Universität / Fachhochschule

Algebraische Topologie

Tags: Algebraische Topologie, freies Produkt, Fundamentalgruppe

Valgebra aktiv_icon

16:42 Uhr, 02.07.2020

Hallo,

ich höre gerade die Vorlesung algebraische Topologie und wir haben dort folgende Aufgabenstellung:

Betrachte den eindeutigen Gruppenhomomorphismus der das Element

1

in der ersten Kopie von

Z (\in F 2)

auf

(1, 0)

abbildet und das Element

1

in der zweiten Kopie von

Z

auf

(0, 1)

abbildet:

F 2 := Z

∗

Z

→

Z

× Z.
Zeige: dieser Gruppenhomomorphismus ist surjektiv, jedoch kein Isomorphismus. Zeige: er
induziert einen Isomorphismus
(F2)ab →

Z^{2}

zwischen der Abelianisierung von

F 2

und

Z

× Z.

Ich habe schon ein bisschen rumprobiert, aber leider noch keine richtige Idee. Kann mir dabei vielleicht jemand helfen. Ich wäre sehr dankbar.

LG

Valentin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ermanus aktiv_icon

20:07 Uhr, 02.07.2020

Hallo,
das Hauptproblem bei dieser Aufgabe sehe ich in der additiven
Schreibweise, in der jeweils 1 als erzeugendes Element der
zyklischen Gruppe

(ℤ, +)

angegeben wird und das
neutrale Element dann natürlich

0

heißt.
Die Sache wird viel handhabbarer, wenn man die Verknüpfung multiplikativ
schreibt, wenn man also annimmt,
dass das erste

Z

gleich

Z_{1} = {a^{n} ∣ n \in ℤ}

und der zweite Faktor gleich

Z_{2} = {b^{n} ∣ n \in ℤ}

ist,
wobei

a

bzw.

b

jeweils Erzeugende der zyklischen Gruppe
sind, also der

1

der ursprünglichen Aufgabenbeschreibung
entsprechen.
Die Element von

Z * Z

entsprechen multiplikativ geschrieben
den Produkten

a^{r_{1}} b^{s_{1}} a^{r_{2}} b^{s_{2}} \dots a^{r_{n}} b^{s_{n}},

mit

n \in ℕ

und

r_{i}, s_{i} \in ℤ

.
Das neutrale Element von

Z

sei mit

e

bezeichnet.
Dann ist offenbar e auch das neutrale Element von

Z * Z

.
Vielleicht kommst du damit besser klar?

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

11:48 Uhr, 04.07.2020

Hallo,
da wir hier wohl mal wieder einen Fragesteller vor uns haben, den die
hier angebotene Hilfe nicht interessiert, sei für Mitleser noch kurz beschrieben,
wie es weitergehen kann:
der eindeutig gegebene Homomorphismus ist (multiplikativ geschrieben)

f : Z * Z \to Z \times Z, a^{r_{1}} b^{s_{1}} \dots a^{r_{n}} b^{s_{n}} \mapsto (a^{r_{1} + r_{2} + \dots + r_{n}}, b^{s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n}})

.
Der Kern von

f

ist gerade die Kommutatoruntergruppe von

Z * Z

,
daher der Isomorphismus.
Gruß ermanus

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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