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Aufgabe mit 3D Transformationen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper, transformation

PeterBaumler aktiv_icon

13:57 Uhr, 10.08.2023

Hallo,

ich habe diese Aufgabe zu

3 D

Transformationen vor mir und wollte fragen ob jemand weiß wie man bei diesem Aufgabentyp vorgeht?
Ich würde mich über Hilfe freuen!

Mit freundlichen Grüßen Peter :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

HAL9000

16:37 Uhr, 10.08.2023

Von "homogenen Koordinaten" habe ich keine Ahnung. Ich würde das ganze als affine Transformation

T (x) = A \cdot x + b

verstehen, welche

T (q_{k}) = p_{k}

für

k = 1, 2, 3, 4

leisten soll.

Zuerst ein Check, ob beide Vierecke zumindest Parallelogramme sind, ansonsten klappt die affine Transformation nämlich gar nicht: Dazu sind

q_{1} + q_{3} \overset{?}{=} q_{2} + q_{4}

und

p_{1} + p_{3} \overset{?}{=} p_{2} + p_{4}

zu überprüfen - scheint hier zu stimmen.

Über die Bedingungen

T (q_{k}) - T (q_{1}) = A \cdot (q_{k} - q_{1}) \overset{!}{=} p_{k} - p_{1}

für

k = 2, 4

bekommt man

A \cdot (\begin{array}{ccc} 5 & 0 \\ 0 & 4 \\ 0 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 3 & - 2 \\ 4 & 1.5 \\ 0 & \sqrt{9.75} \end{array})

,

bzw. transponiert geschrieben, um die "übliche" Form für ein LGLS zu haben

(\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \end{array}) \cdot A^{T} = (\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 0 \\ - 2 & 1.5 & \sqrt{9.75} \end{array})

Naja, das System ist ganz offenbar unterbestimmt, die dritte Zeile von

A^{T}

(bzw. dritte Spalte von

A

) ist frei wählbar. Löst man das GLS über

(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}) \cdot A^{T} = (\begin{array}{ccc} 0.6 & 0.8 & 0 \\ - 0.5 & 0.375 & 0.125 \sqrt{39} \end{array})

,

so bekommt man rücktransponiert

A = (\begin{array}{ccc} 0.6 & - 0.5 & a_{13} \\ 0.8 & 0.375 & a_{23} \\ 0 & 0.125 \sqrt{39} & a_{33} \end{array})

mit beliebiger dritter Spalte.

Verschiebungs-Vektor

b

rechnet man einfach über einen der Punkte aus, am einfachsten (weil am wenigsten Rechnung) über Punkt 1:

b = p_{1} - A \cdot q_{1} = (\begin{array}{ccc} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array})

.

EDIT: In der Aufgabe stand nichts von "längentreu", aber das scheint hier dann doch bei den beiden Rechtecken der Fall zu sein. So gesehen kann man

A

auch zu einer Orthogonalmatrix ergänzen, und zwar durch

a_{\cdot 3} = (\begin{array}{ccc} 0.6 \\ 0.8 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{ccc} - 0.5 \\ 0.375 \\ 0.125 \sqrt{39} \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0.1 \sqrt{39} \\ - 0.075 \sqrt{39} \\ 0.625 \end{array})

Insgesamt hätte man dann also Orthogonalmatrix

A = (\begin{array}{ccc} 0.6 & - 0.5 & 0.1 \sqrt{39} \\ 0.8 & 0.375 & - 0.075 \sqrt{39} \\ 0 & 0.125 \sqrt{39} & 0.625 \end{array})

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