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Aufgabe zu Analysis

Universität / Fachhochschule

Tags: Sonstig

matheass12345 aktiv_icon

21:04 Uhr, 13.01.2017

Beim hydraulischen fracking wird in tifen Schiefergesteinsschichten durch Hochdruckbohrungen Risse erzeugt, durch die das im Stein enthaltene Gas gewonnen werden kann. Die momentane Förderrate einer solchen Lagestätte wird durch die Funktion

f (t) = (200 - 5 t) \cdot e^{0,2 t}, 0 < t < 40

erfasst.

Dabei ist

t

die Zeit und

f (t)

die Förderrate zur Zeit

t

in der EInehit

1000 m^{3}

/(Monat)

1. Die Fördergesellschaft beschließt, ab dem

35

. Monat die Förderung so zu steuern, dass das weitere Absinken der Förderrate nur linear erfolgt und durch eine Funktion der Form

g (x) =

ax+b erfasst werden kann. Die Förderung soll auf die Weise erst nach

50

Monaten zum Erliegen kommen.
Bestimme

g (x)

.

2. In welchen Zeitraum liegt die Förderrate bei mind.

20

Mio

m^{3}

/Monat?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

21:12 Uhr, 13.01.2017

"Dabei ist t die Zeit und..."
damit hast du immer noch nicht verraten, dass t wohl die Zeit in MONATEN sein soll.
Weiterhin hast du vermutlich unterschlagen (oder die Aufgabe ist tatsächlich so schlampig gestellt), dass nach t=35 diese Exponentialfunktion so in eine lineare Funktion übergehen soll, dass ein "knickfreier" Übergang erfolgt.

matheass12345 aktiv_icon

21:26 Uhr, 13.01.2017

sooo, hat jemand

g (x) = - 22610 x + 818766

?? (gerundete Werte)

matheass12345 aktiv_icon

21:45 Uhr, 13.01.2017

1. Teil ist schon gelöst!

mihisu aktiv_icon

22:35 Uhr, 13.01.2017

Erst einmal zu Gast

62 :

Es ist vollkommen richtig, dass nicht angegeben wurde, dass die Zeit

t

wohl die Zeit in Monaten sein soll.

Dass bei

t = 35

ein "knickfreier" Übergang erfolgen soll, ist jedoch NICHT der Fall.
Nach Angabe soll

g (35) = f (35)

und

g (50) = 0

sein.

g

ist also nicht durch einen knickfreien Übergang bestimmt, sondern durch zwei Punkte.

\\\\

Nun zu dir, matheass12345.

Deine Lösung für

g

ist falsch. Bei dir wäre

g (36,21) \approx 0,

so dass die Förderung nach

36,21

Monaten zum Erliegen kommt. Gefordert waren aber

50

Monate.

Es soll

g (35) = f (35)

und

g (50) = 0

sein. Daher folgt:

g (t) = \frac{0 - f (35)}{50 - 35} \cdot (t - 50) + 0 = ... = - \frac{5}{3} \cdot e^{7} \cdot t + \frac{250}{3} \cdot e^{7}

Also:

g (x) \approx - 1823 x + 91386

\\\\

Für den 2. Teil der Aufgabe:

Hier musst du Ungleichungen lösen.

Bestimme diejenigen

t \in ℝ

mit

0 < t < 35,

so dass

f (t) = (200 - 5 t) \cdot e^{0,2 t} \geq 20000

ist.

[

Tipp: Zeige, dass

f

für

0 < t < 35

monoton steigend ist und berechne diejenige Stelle

t

mit

f (t) = 20000 .]

[

Der Zeitpunkt für

f (t) = 20000

lässt sich nicht exakt bestimmen. Nutze ein Näherungsverfahren, oder PC bzw. einen geeigneten Taschenrechner, falls du sowas als Hilfsmittel verwenden darfst, um den Zeitpunkt näherungsweise zu bestimmen.

]

Bestimme diejenigen

t \in ℝ

mit

35 \leq t < 50,

so dass

g (t) = - \frac{5}{3} \cdot e^{7} \cdot t + \frac{250}{3} \cdot e^{7} \geq 20000

ist.

matheass12345 aktiv_icon

22:54 Uhr, 13.01.2017

wie ?

matheass12345 aktiv_icon

22:59 Uhr, 13.01.2017

ODER HAST DU AUCH

30 < t < 38

mihisu aktiv_icon

23:50 Uhr, 13.01.2017

Ich erhalte näherungsweise den folgenden Zeitraum:

29,915 < t < 39,057

Bzw. auf ganze Zahlen (also zum nächsten Monat hin) gerundet:

30 < t < 39

Die

30

kommt also hin.

f (30) \approx 20171 \approx 20000

.

Bei der

38

hast du dich wohl verrechnet:

20000 \leq g (t)

20000 \leq - \frac{5}{3} \cdot e^{7} \cdot t + \frac{250}{3} \cdot e^{7}

\frac{5}{3} \cdot e^{7} \cdot t \leq \frac{250}{3} \cdot e^{7} - 20000

t \leq 50 - 12000 \cdot e^{- 7}

Dabei ist

50 - 12000 \cdot e^{- 7} \approx 39,057

matheass12345 aktiv_icon

00:49 Uhr, 14.01.2017

Bei der

38

hast du dich wohl verrechnet:
20000≤g(t)
20000≤−53⋅e7⋅t+2503⋅e7

Wie kamst du auf diese Gelichung eigentlich??

mihisu aktiv_icon

01:05 Uhr, 14.01.2017

Schau mal in meinen Beitrag von

22 : 35

. Das habe ich erhalten:

g (t) = \frac{0 - f (35)}{50 - 35} \cdot (t - 50) + 0 = ... = - \frac{5}{3} \cdot e^{7} \cdot t + \frac{250}{3} \cdot e^{7}

Und auf

g (t) \geq 20000

kommt man, weil

g (t)

für

35 < t < 50

die Förderrate in der Einheit

1000 \frac{m^{3}}{M o n a t}

angibt. (Zumindest nach Aufgabenteil

1 .)

Und es ist danach gefragt, wann die Förderrate mindestens

20000 \cdot 1000 \frac{m^{3}}{M o n a t}

beträgt.

\\\\

Edit: Ich bin davon ausgegangen, dass wir uns in der gleichen Situation befinden, wie im ersten Aufgabenteil. Dass also nach

35

Monaten die Förderrate so angepasst werden soll, dass sie durch

g (t)

beschrieben wird.

Wenn man davon ausgeht, dass die Förderrate nicht (wie im 1. Aufgabenteil beschrieben) entsprechend angepasst wird, so hast du recht. Dann stimmt

30 < t < 38,

also die

38,

welche du erhalten hast. Davon bist du wahrscheinlich ausgegegangen, oder?

Welche Situation für Aufgabenteil 2 verwendet werden soll, also ob die Förderrate wie in 1 beschrieben angepasst wird, oder ob man mit der ursprünglichen Situation rechnen soll, geht nicht eindeutig aus der Aufgabenstellung von Aufgabenteil 2 hervor. Also sind im Grunde beide Ergebnisse

30 < t < 39

bzw.

30 < t < 38

richtig.

matheass12345 aktiv_icon

01:28 Uhr, 14.01.2017

könntest du hierzu deinen RechenWEG mal bitte afuscrhreiben?
Schau mal in meinen Beitrag von

22 : 35

. Das habe ich erhalten:

g(t)=0−f(35)50−35⋅(t−50)+0=...=−53⋅e7⋅t+2503⋅e7

wäre sehr ilfreich!

mihisu aktiv_icon

02:04 Uhr, 14.01.2017

Ok, dann ausführlich:

Wenn zwei Punkte

(x_{1}, y_{1})

und

(x_{2}, y_{2})

gegeben sind, die auf einer Geraden

g

liegen sollen, so ist die Geradengleichung gegeben durch

g (x) = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} \cdot (x - x_{1}) + y_{1}

.
(Stichwort: Punkt-Steigungs-Form)

In unserem Fall wissen wir, dass die Punkte

(50, 0)

und

(35, f (35))

auf der Geraden liegen sollen.
Einsetzen in die Punktsteigungsform liefert:

g (x) = \frac{0 - f (35)}{50 - 35} \cdot (x - 50) + 0 = - \frac{f (35)}{15} \cdot (x - 50)

Nun ist

f (35) = (200 - 5 \cdot 35) \cdot e^{0,2 \cdot 35} = (200 - 175) \cdot e^{7} = 25 \cdot e^{7}

.

Also:

g (x) = - \frac{25 \cdot e^{7}}{15} \cdot (x - 50)

g (x) = - \frac{5 \cdot e^{7}}{3} \cdot (x - 50)

g (x) = - \frac{5 \cdot e^{7}}{3} \cdot x + \frac{5 \cdot e^{7}}{3} \cdot 50

g (x) = - \frac{5 \cdot e^{7}}{3} \cdot x + \frac{250 \cdot e^{7}}{3}

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