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Aufgabe zu 'Beschränktes Wachstum'

Schüler Realschule, 10. Klassenstufe

Tags: Aufgabe, Lösungsverfahren

Sassa aktiv_icon

11:37 Uhr, 06.12.2009

Hallo.
Ich hab hier eine Aufgabe und ich hab echt keine ahnung wie ich sie lösen kann.

Die heiße Suppe kommt mit 60°C in den Teller. Die Zimmertemperatur beträgt 20°C.
Helga rührt mit dem Löffel in der Suppe, damit sie schneller abkühlt.
Alle

10

Sekunden nimmt die Differenz zw. Suppen- und Zimmertemperatur um

10 %

ab.

Stelle ein Wachstumsgesetz zur Berechnung der Suppentemperatur nach

t

Zeitshritten (beahte 1t=10Sekunden) auf.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mathemaus999

12:32 Uhr, 06.12.2009

Hallo,

ich nehme mal an, ihr habt für das beschränkte Wachstum eine Funktion schon mal erstellt. Diese Funktionen haben folgende Form

f (t) = S + c \cdot a^{t}

Dabei ist

S

die Schranke und a der Wachstumsfaktor.

Du weißt, dass die Zimmertemperatur 20° beträgt, die Suppe also nie kälter wird.

S

ist dem nach

20 .

Jetzt weißt du als Zweites, dass die Anfangstemperatur 60° beträgt. D.

h .,

wenn du

t = 0

setzt, muss

60

herauskommen.
Das machst du jetzt als Nächstes um das

c

zu bestimmen.

60 = 20 + c \cdot a^{0}

60 = 20 + c

40 = c .

Damit kannst du jetzt schon teilweise die Funktion aufstellen.

f (t) = 20 + 40 \cdot a^{t} .

Jetzt musst du noch den Wachstumsfaktor a bestimmen. Dazu hast du noch die letzte Angabe im Text.
Da

t

Zeiteinheiten von

10

Sekunden sein sollen, weißt du, dass nach einer Zeiteinheit der Unterschied zur Zimmertemperatur um

10 %

gesunken sein soll. Am Anfang war der Unterschied

40,

dann ist er jetzt um

10 %

kleiner, also beträgt er 36°.

Das heißt, wenn du in die Gleichung

t = 1

setzt, muss 56° herauskommen.

56 = 20 + 40 \cdot a^{1}

56 = 20 + 40 \cdot a

36 = 40 \cdot a

0,9 = a

Damit lautet also die gesuchte Funktionsgleichung:

f (t) = 20 + 40 \cdot {0,9}^{t}

Grüße

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12:49 Uhr, 06.12.2009

d . h

. also wenn ich jetzt

z . B

. die Temperatur nach

80 sec

ausrechnen möchte geb ich in die Formel ein

f (t) = 20 + 40 \cdot {0,9}^{80}

?

da kommt dann aber 20° raus das kann doch nicht sein oder? oder muss ich dann

{0,9}^{0,8}

machen?

Shipwater aktiv_icon

12:59 Uhr, 06.12.2009

"Da

t

Zeiteinheiten von

10

Sekunden sein sollen"

Also

f (8)

entspricht dann wohl eher der Temperatur nach

80

Sekunden.

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13:03 Uhr, 06.12.2009

dann muss ich

{0,9}^{8}

oder wie?^^

Sassa aktiv_icon

13:11 Uhr, 06.12.2009

okey habs nun kapiert
DANKE

mathemaus999

13:11 Uhr, 06.12.2009

Hallo,

obwohl zwischenzeitlich shipwater übernommen hat, möchte ich gerne noch mal auf deinen inzwischen wieder gelöschten Ansatz zurückkommen.

Ihr habt in der Schule anscheinend eine ähnliche Aufgabe gelöst. Schreibe uns doch mal die Aufgabe mit der Lösung auf. Dann können wir vielleicht eine Lösung anbieten, die sich an euerem Schulstoff orientiert.

Grüße

691398

691350

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