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Aufgabe zu Erwartungswerten

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert

chaoshoney aktiv_icon

15:13 Uhr, 24.05.2017

Hallo :-) Kann vielleicht jemand einmal über meine Lösung der Aufgabe drübergucken und mir sagen, ob ich den korrekten Ansatz verfolgt habe?

Im Erdgeschoss eines Gebäudes steigen 6 Personen in einen Aufzug und wählen unabhängig
voneinander gleichverteilt eine der 8 möglichen Etagen aus, bei der sie aussteigen. Bestimmen Sie die erwartete Anzahl von Stockwerken, bei denen wenigstens eine der Personen aussteigt!
Hinweis: Betrachten Sie zu jedem Stockwerk die Indikatorzufallsvariable, die genau dann den Wert 1 annimmt, wenn eine der Personen aussteigt, und 0 sonst. Berechnen Sie zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zufallsvariable den Wert 0 annimmt, bestimmen Sie dann deren Erwartungswert, aus dem Sie leicht das gesuchte Resultat berechnen können.

Ω = {1, 2, . . ., 8}

P ist Gleichverteilung auf

Ω

X : Ω \to {0, 1}

Ich frage mich nun aber, wie die Rechnung genau weitergehen soll? Soll ich nun einfach die Formel des Erwartungswertes nutzen und einsetzen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

15:24 Uhr, 24.05.2017

Definiere

6

Zufallvariablen

X_{i}

, eine pro Person. (

X_{i}

ist die Zahl des Stockwerks, wo

i

-te Person aussteigt).
Dann die besagten Indikatorfunktionen.
Wenn z.B.

I_{1}

die Indikatorfunktion für den 1. Stockwert ist,
dann gilt

P (I_{1} = 0) = P (X_{1} \neq 1 \cap X_{2} \neq 1 \cap . . . \cap X_{6} \neq 1) = (\frac{7}{8})^{6}

, daher

P (I_{1} = 1) = 1 - (\frac{7}{8})^{6}

usw.

tobit aktiv_icon

15:34 Uhr, 24.05.2017

Hallo,

zwei Ergänzungen zu DrBoogies Antwort:

Zusätzlicher Tipp:
Die Anzahl S der Stockwerke, bei denen mindestens eine Person aussteigt, ist gegeben durch

S = I_{1} + I_{2} + \dots + I_{8}

.

" Ω={1,2,...,8}
P ist Gleichverteilung auf Ω "
Diese Wahl beschreibt das Zufallsexperiment, dass EINE Person gleichverteilt eine der 8 Etagen wählt.
In der Aufgabe ist jedoch die Betrachtung von SECHS Personen entscheidend.

" X:Ω→{0,1} "
Es gibt viele solche Abbildungen/Zufallsgrößen X. Welche meinst du?

Viele Grüße
Tobias

chaoshoney aktiv_icon

15:57 Uhr, 24.05.2017

Okay, anscheinend habe ich die ganze Aufgabe doch noch nicht ganz verstanden.
Ist dann auch

P (I_{2} = 0) = (\frac{7}{8})^{6}

? Oder müsste ich jetzt berücksichtigen, dass

I_{1} = 1

war und sich die Wahrscheinlichkeiten nun geändert haben könnten?

DrBoogie aktiv_icon

15:58 Uhr, 24.05.2017

"Ist dann auch"

Ja.

tobit aktiv_icon

16:05 Uhr, 24.05.2017

" Ist dann auch

P (I_{2} = 0) = (⅞)^{6}

? "

Wie DrBoogie schon schrieb: Ja. Und zwar mit analoger Begründung: Es gilt

P (I_{2} = 0) = P ({X_{1} \neq 2} \cap {X_{2} \neq 2} \cap \dots \cap {X_{6} \neq 2}) = P (X_{1} \neq 2) \cdot P (X_{2} \neq 2) \cdot \dots \cdot P (X_{6} \neq 2) = ⅞ \cdot ⅞ \cdot \dots \cdot ⅞ = (⅞)^{6}

unter Beachtung der stochastischen Unabhängigkeit von

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{6}

.

" Oder müsste ich jetzt berücksichtigen, dass

I_{1} = 1

war und sich die Wahrscheinlichkeiten nun geändert haben könnten? "

Was meinst du mit

I_{1} = 1

I_{1}

ist eine (nichtkonstante) Zufallsgröße.

chaoshoney aktiv_icon

12:02 Uhr, 26.05.2017

Entschuldigt bitte die späte Reaktion. Laut Aufgabe haben wir also nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine Person aussteigt, mit

(\frac{7}{8})^{6}

für jedes Stockwerk bestimmt. Nun soll ich damit den Erwartungswert berechnen. Also rechne ich dann einfach

1 \cdot (\frac{7}{8})^{6} + . . . + 8 \cdot (\frac{7}{8})^{6}

? Und dann würde sich hierfür 16.16 ergeben...
Aber also ich habe das Gefühl, die gesamte Aufgabe geht daneben. Das kann doch schon wieder nicht stimmen. Worauf sollte sich denn die 16.16 beziehen? Tut mir leid, dass ich mich so dusselig anstelle, aber ich war aufgrund von Krankheit für längere Zeit nicht in der Vorlesung und versuche einfach nachzuvollziehen, was wir angestellt haben. :(

tobit aktiv_icon

12:22 Uhr, 26.05.2017

Der von dir angegebene Term ist der Erwartungswert der Zufallsgröße "Summe der Stockwerksnummern der Stockwerke, an denen keine Person aussteigt".
Das ist in der Tat kein sonderlich sinnvoller Wert.
Du solltest dir vor einer Rechnung überlegen, von welcher Zufallsgröße du den Erwartungswert bestimmen möchtest.

Ich bin mir nicht sicher, ob du das bisher von DrBoogie und mir Geschriebene verstanden hast.
Wenn nein, frage bitte unbedingt zu den entsprechenden Stellen nach (z.B. "Warum gilt ...?").

Ziel der Aufgabe ist, den Erwartungswert der Zufallsgröße "Anzahl der Stockwerke, an denen mindestens eine Person aussteigt" zu bestimmen.
Diese Zufallsgröße habe ich in meiner ersten Antwort

S

genannt.
Gesucht ist also der Erwartungswert

E S

von

S

.

Nun habe ich dir den Tipp

S = I_{1} + I_{2} + \dots + I_{8}

gegeben.
(Ist dir klar, wieso dies gilt?
Weißt du noch, wofür die von DrBoogie eingeführten Zufallsgrößen

I_{1}

I_{2}

, ...,

I_{8}

stehen?)

Nach der Linearität des Erwartungswertes gilt somit

E S = E I_{1} + E I_{2} + \dots + E I_{8}

.

Bleiben noch

E I_{1}

E I_{2}

, ...,

E I_{8}

zu bestimmen.

Es gilt z.B.

E I_{8} = 0 \cdot P (I_{8} = 0) + 1 \cdot P (I_{8} = 1) = P (I_{8} = 1) = 1 - P (I_{8} = 0)

,

da

I_{8}

nur die Werte

0

und

1

annimmt.

chaoshoney aktiv_icon

12:42 Uhr, 26.05.2017

Danke für die Geduld!
Das bisher Geschriebene war sehr gut verständlich und hat einige Fragezeichen in meinem Kopf geklärt, das Problem bei mir liegt nun darin, das Erfahrene miteinander sinnvoll zu verknüpfen, denke ich. :(
Was mich allerdings ein wenig verwirrt hat, warum ist z.B.

P ({X_{1} \neq 1}) = \frac{7}{8}

für

I_{1}

(oder auch jedes beliebige andere Stockwerk)? Die Aussage dahinter ist doch einfach nur, dass Person 1 nicht im ersten Stockwerk aussteigen wird, richtig? Und jedes Stockwerk ist ja gleichvertleilt, was heißen würde, dass die Wahrscheinlichkeit für Nichtaussteigen eigentlich

\frac{1}{8}

ist?

tobit aktiv_icon

13:00 Uhr, 26.05.2017

" Die Aussage dahinter ist doch einfach nur, dass Person 1 nicht im ersten Stockwerk aussteigen wird, richtig? "

Ja, das Ereignis

{X_{1} \neq 1}

ist das Ereignis, dass Person 1 NICHT in Stockwerk 1 aussteigt.

" Und jedes Stockwerk ist ja gleichvertleilt,"

Genauer: Gleichverteilt auf

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

ist z.B.

X_{1}

, also das Stockwerk, in dem Person 1 aussteigt.

"was heißen würde, dass die Wahrscheinlichkeit für Nichtaussteigen eigentlich 18 ist? "

Nein.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Person 1 in Stockwerk 1 aussteigt, ist

\frac{1}{8}

.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Person 1 NICHT in Stockwerk 1 aussteigt ist somit

1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

P (X_{1} \neq 1) = \frac{7}{8}

hat erst einmal nichts mit

I_{1}

zu tun, auch wenn wir diese Überlegung letztlich benutzen, um

P (I_{1} = 0)

zu berechnen.

Das Ereignis

{X_{1} \neq 1}

ist wie gesagt das Ereignis, dass Person 1 NICHT in Stockwerk 1 aussteigt.

Das Gegenereignis (!)

{X_{1} = 1}

, dass Person 1 in Stockwerk 1 aussteigt, hat Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{8}

, da Person 1 in jedem der 8 Stockwerke mit gleicher Wahrscheinlichkeit aussteigt.

Also gilt

P (X_{1} \neq 1) = 1 - P ({X_{1} = 1}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

.

In der Tat musst du noch alles zusammensetzen:
Gesucht ist

E S

.
Ich habe geschrieben, wie du

E S

mithilfe von

E I_{1}

E I_{2}

, ...,

E I_{8}

bestimmen kannst.
Ich habe geschrieben, wie du z.B.

E I_{8}

bestimmen kannst mithilfe von

P (I_{8} = 0)

.
DrBoogie hat dir geschrieben, wie du

P (I_{8} = 0)

bestimmen kannst (nämlich genauso wie

P (I_{1} = 0)

chaoshoney aktiv_icon

14:39 Uhr, 26.05.2017

Okay, also nochmal hier ein Versuch:

P (I_{1} = 0) = P (I_{2} = 0) = P (I_{3} = 0) = P (I_{4} = 0) = P (I_{5} = 0) = P (I_{6} = 0) = P (I_{7} = 0) = P (I_{8} = 0) = (\frac{7}{8})^{6}

P (I_{1} = 1) = P (I_{2} = 1) = P (I_{3} = 1) = P (I_{4} = 1) = P (I_{5} = 1) = P (I_{6} = 1) = P (I_{7} = 1) = P (I_{8} = 1) \approx 0.5512 \approx E I_{1} + . . . + E I_{8}

Also ist

E S

kann berechnet werden als

E S = E I_{1} + E I_{2} + . . . + E I_{8} = 4.4096 \approx 4

.

Es wird demnach erwartet, dass die Anzahl der Stockwerke, bei denen wenigstens eine Person aussteigt 4 ist.

tobit aktiv_icon

17:31 Uhr, 26.05.2017

Deine Rechnung ist korrekt! :-)

(In der zweiten Zeile meinst du am Ende sicherlich

E I_{1} = \dots = E I_{8}

statt

E I_{1} + \dots + E I_{8}

.)

Ich würde den Wert von

E S

nicht auf eine ganze Zahl runden.
Aber ich kann nicht ausschließen, dass andere das anders sehen.

Schließlich gibt der Wert von

E S

anschaulich einen "Mittelwert der Anzahl der angefahrenen Stockwerke" und nicht etwa eine "prognostizierte Anzahl der angefahrenen Stockwerke" an.
Insofern finde ich deinen Antwortsatz etwas missverständlich.

chaoshoney aktiv_icon

10:54 Uhr, 27.05.2017

Vielen Dank für die gute Hilfe! :-)
Das einzige, das mich noch verwundert, ist, dass Du von der "Linearität des Erwartungswertes" geschrieben hast und so von

S = I_{1} + . . . + I_{8}

auf

E S = E I_{1} + . . . + E I_{8}

schätzen konntest. Was genau ist die Linearität des Erwartungswertes?

tobit aktiv_icon

11:19 Uhr, 27.05.2017

Unter "Linearität des Erwartungswertes" verstehe ich folgende Bemerkung:

Seien

X

und

Y

Zufallsgrößen (auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum), deren Erwartungswert existiere und sei

a \in ℝ

.
Dann existieren auch die Erwartungswerte von

X + Y

und von

a \cdot X

und es gilt
i)

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

und
ii)

E (a \cdot X) = a \cdot E (X)

.

Korollar: Sind

Y_{1}, \dots, Y_{n}

endlich viele Zufallsgrößen, deren Erwartungswert existiert, so existiert auch der Erwartungswert von der Summe

Y_{1} + \dots + Y_{n}

und es gilt

E (Y_{1} + \dots + Y_{n}) = E (Y_{1}) + \dots + E (Y_{n})

.

(Beweis des Korollars durch vollständige Induktion nach n unter Verwendung von i) aus der Bemerkung.)

Dieses Korollar wende ich auf

n = 8

und

Y_{k} = I_{k}

für

k = 1, \dots, 8

an.

chaoshoney aktiv_icon

16:36 Uhr, 06.06.2017

Entschuldige die sehr verspätete Antwort. Und sowohl für die Erklärung zur Linearität des Erwartungswertes als für die gute, schnelle Hilfe ein ganz großes Dankeschön! Mir hat das unheimlich weitergeholfen!

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