Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Aufgabe zu Laplace Experiment

Aufgabe zu Laplace Experiment

Schüler

Tags: Experiment, laplace, Laplace Experiment, Wahrscheinlichkeistberechnung

Kranomathe aktiv_icon

19:07 Uhr, 09.10.2020

Hallo!

ich habe folgende aufgabe und stehe leider komplett auf dem Schlauch...

Ein laplace-würfel wird

100

mal gewürfelt. Ich will die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass mindestens eine Augenzahl mindestens

25

mal gewürfelt wird. Mit fehlt absolut der ansatz, wie ich an die aufgabe rangehe und welche Formeln ich benutzen muss...

Über jede Hilfe wäre ich dankbar! :-)
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

19:21 Uhr, 09.10.2020

Sei

A_{k}

das Ereignis, dass Augenzahl

k

mindestens 25-mal fällt. Dann ist die von dir gesuchte Wahrscheinlichkeit gemäß Siebformel gleich

p = P (A_{1} \cup \dots \cup A_{6}) = \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k - 1} (\binom{6}{k}) P (A_{1} \cap \dots \cap A_{k})

= 6 P (A_{1}) - 15 P (A_{1} \cap A_{2}) + 20 P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) - 15 P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4})

P (A_{1})

ist noch relativ einfach bestimmbar, am anderen Ende

P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4})

ist auch gut beherrschbar; bei den anderen beiden Teilwahrscheinlichkeiten ist es indes etwas aufwändiger...

EDIT: Ach ja, das Board hat wieder mal Probleme mit der Darstellung des Binomialkoeffizienten. Naja, mit anderen Browsern sieht es ja noch übler aus, wie man hört.

supporter aktiv_icon

19:21 Uhr, 09.10.2020

Verwende das Gegenereignis: keine Augenzahl erscheint mindestens 25-mal= jede
Zahl erscheint höchstens 24-mal.

P (X \leq 24) = \sum_{k = 0}^{24} {(\frac{1}{6})}^{k} \cdot {(\frac{5}{6})}^{24 - k} = 0,9783

\to P = 1 - {0,9783}^{6}

HAL9000

21:35 Uhr, 09.10.2020

@supporter

Dir ist schon klar, dass die sechs Ereignisse "Augenzahl

k

kommt maximal 24mal vor" für

k = 1, \dots, 6

NICHT unabhängig sind? Diese Abhängigkeit resultiert schon allein aus der Tatsache, dass die Summe der sechs zugehörigen Auftritts-Anzahlen genau 100 ist, und diese Anzahlen dadurch miteinander verkoppelt sind.

Wenn man dennoch annimmt, dass diese Unabhängigkeit zumindest "annähernd" gilt, dann liefert deine Methode den Wert

P \approx 0.12336

.

Mit der exakten Rechnung von oben, wo allerdings bei

P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3})

eine Dreifachsumme der Multinomialverteilung vom CAS zu berechnen war, kommt der tatsächliche Wert

P \approx 0.12896

heraus, also ca. 0.5% Abweichung durch die Unabhängigkeitsannahme.

supporter aktiv_icon

05:19 Uhr, 10.10.2020

Korrektur:

. .

{(\frac{5}{6})}^{100 - k}

@Hal:
Ich verstehe leider nicht, was du damit sagen willst.
Kannst du es bitte etwas "laienhafter" erklären?
Was meinst du mit "nicht unabhängig"?
Jeder Wurf ist doch unabhängig vom anderen.

PS:
Ich glaube, dass ein Schüler deinen Ansatz nicht versteht.
Er ist

m . E

. "zu hoch" für die Schule und zu aufwändig.

Roman-22

10:10 Uhr, 10.10.2020

>

Korrektur:

> . .

. (56)100−k

Nicht nur das, auch der Binomialkoeffizient

(\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix})

hat bei deinem Beitrag noch gefehlt

>

Ich glaube, dass ein Schüler deinen Ansatz nicht versteht.

>

Er ist

m . E

. "zu hoch" für die Schule und zu aufwändig.

Nicht HAL's Ansatz ist "zu hoch", sondern die gestellte Aufgabe, bei der ich nicht wüsste, wie man sie korrekt ohne dem Prinzip von Inklusion und Exklusion lösen könnte.

\to

de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_von_Inklusion_und_Exklusion#Anwendung

Und falls du noch nicht überzeugt sein solltest, dass dein Ansatz falsch ist und bestenfalls eine Näherung darstellt, rechne das doch für eine Gesamtwurfanzahl von

150

anstelle von

100

durch. Das richtige Ergebnis ist trivialerweise

100 %,

dein Ansatz führt auf rund

98,98 %

.
Oder nimm eine Wurfanzahl von

N = 24

. Die gesuchte WKT ist natürlich

0,

aber bei dir kommt ein negativer Wert raus.
Ebenso bei

N = 25

. Da gibt es sechs "günstige" Fälle bei

6^{25}

"möglichen", also ist die WKT

6^{- 24} \approx 2 \cdot 10^{- 19},

mit deinem Ansatz wäre sie wieder negativ.

supporter aktiv_icon

11:02 Uhr, 10.10.2020

Sorry, auch das verstehe ich so nicht.
Wie kommst du auf

100 %

? Was hat das mit

N

zu tun?
Die WKT kann doch nie

100 %

sein.
Wo liegt mein Denkfehler?

Roman-22

13:06 Uhr, 10.10.2020

Wie willst du denn bei

150

Würfen erreichen, dass keine der sechs Zahlen mindestens

25

Mal auftritt?
Wenn jede Augenzahl höchstens

24

Mal auftreten darf, geht sich das doch nur bei einer Wurfanzahl bis

6 \cdot 24 = 144

aus.
Ab

145

Würfen MUSS mindestens eine der sechs Augenzahlen mindestens

25

Mal auftreten!

supporter aktiv_icon

13:57 Uhr, 10.10.2020

Logisch. Danke. Ich hab das etwas durcheinandergebracht. Sorry. :-)

Kranomathe aktiv_icon

14:08 Uhr, 11.10.2020

Danke an alle für die Antworten. Hat mir definitiv weitergeholfen!

1513612

1513568

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?