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Aufgabe zu Logistischem Wachstum

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: logistisches Wachstum

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18:28 Uhr, 16.11.2011

Hallo Leute,

ich brauche dringend Hilfe bei zwei Aufgaben:

1. An einer Schule mit

700

Schülern setzen 4 Schüler ein Gerücht in Umlauf. Wie schnell breitet sich das Gerücht aus, wenn jeder Schüler zwei weitere pro Minute informieren kann?

Mein Ansatz sieht so aus:

G = 700, k = 2, a = 4

Wenn ich diese Zahlen dann in die Gleichung

f (t) = \frac{a \cdot S}{1 + (S - a) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}}

einsetze, bekomme ich für

t = 0,0073

Minuten und das kann nicht sein.

das steht dann:

696 = \frac{4 \cdot 700}{1 + (700 - 4) \cdot e^{- 700 \cdot 3 \cdot t}}

t = 0,0073 < - -

sehr unrealistisch und ich denke falsch

2. In den Teichen einer Fischzuchtanlage werden zu Beginn des Jahres

2006

ca.

1200

Fische gezählt.

a)

Solange sich die Fische ungestört vermehren können, kann die Entwicklung des Fischbestandes durch die Gleichung

f' (t) = 0,015 \cdot f (t) \cdot (4000 - f (t)), t

in Jahren ab

2006,

beschrieben werden. Wie viele Fische sind 4 Jahre später vorhanden? Von welchem maximalen Bestand kann man ausgehen?
Eigentlich kann man aus der Gleichung folgende Zahlen ableiten:

k = 0,015, S = 4000, a = 1200

Wenn ich diese Zahlen in

f (t)

einsetze kommt

4800000

raus und das kann auch nciht sein

!!

b)

Beschreiben Sie die weitere Entwicklung des Fischbestandes bis zum Jahre

2015,

wenn ab

2010

am Ende jeden Jahres

300

Fische abgefischt werden.

Ich brauche Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

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19:34 Uhr, 16.11.2011

gelöscht, siehe weiter hinten

Gerd30.1 aktiv_icon

19:38 Uhr, 16.11.2011

b)

die Differenzialgleichung hat die Lösung

f (t) = \frac{1200 \cdot 4000}{1200 + (4000 - 1200) \cdot e^{- 0.15 \cdot 4000 \cdot t}}

für

t = 4

ergibt sich dann

f (4) = \frac{4800000}{1200 + 2800 \cdot e^{- 240}} = 4000,

deine logistische Formel aus

a)

ist falsch!!
also

a)das

k

ist falsch: um es zu berechnen, musst du in

f (t) = \frac{4 \cdot 700}{4 + (700 - 4) \cdot e^{- 700 \cdot k \cdot t}} z . B

. für

t = 1 f (t) = 8

einsetzen: also

f (1) = \frac{2800}{4 + 696 \cdot e^{- 700 \cdot k \cdot t}} = 8 \Rightarrow 2800 = 32 + 5568 \cdot e^{- 700 \cdot k} \Rightarrow - 700 k = ln (\frac{2768}{5568}) \approx - 0,7 \Rightarrow

f (t) = \frac{2800}{4 + 696 \cdot e^{0,7 \cdot t}}

aposch aktiv_icon

20:56 Uhr, 16.11.2011

Wenn ich

f (1) = 8

einsetze, kommt aber etwas anderes raus als dein Ergebnis:

8 = \frac{4 \cdot 700}{4 + (700 - 4) \cdot e^{- 700 \cdot k \cdot 1}} | \cdot

Nenner

32 + 5568 \cdot e^{- 700 \cdot k} = 2800 | - 32

5568 \cdot e^{- 700 \cdot k} = 2768 | \cdot \frac{1}{5568}

e^{- 700 \cdot k} = \frac{2768}{5568} | ln ()

- 700 \cdot k = ln (\frac{2768}{5568}) | \cdot \frac{1}{- 700}

k = \frac{ln (\frac{2768}{5568})}{- 700}

k = 0,000998

\Rightarrow f (t) = \frac{2800}{4 + 696 \cdot e^{- 700 \cdot 0,000998 \cdot t}}

Jetzt muss ich

700 = \frac{2800}{4 + 696 \cdot e^{- 700 \cdot 0,000998 \cdot t}}

machen, und dann nach

t

auflösen. Ist das richtig jetzt?

Die zweite Aufgabe hat sich dank deiner Hilfe geklärt (danke).

Rabanus aktiv_icon

22:40 Uhr, 16.11.2011

1. Was ist das Ergebnis von

700 \cdot 9,98444 \cdot 10^{- 4}

?

2. Die 'Flüsterpropaganda' ist ja kein stetiger sondern ein - im mathematischen Sinne - diskreter Vorgang. Die rekursive Darstellung ist daher wohl eher angesagt.

aposch aktiv_icon

23:41 Uhr, 16.11.2011

Vielen Dank!!

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