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Aufgabe zu Minimalpolynom
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Matrizenrechnung
Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung
 
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Hallo, ich habe die folgende Aufgabe: Sei , invertierbar und habe das Minimalpolynom Zeigen Sie, dass und Ich habe da etwas Probleme, ich glaube, dass es mit der Determinante geht, da das charakteristische Polynom die Determinante von () ist. Danke. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, bedenke, dass für einen Eigenwert von mit zugehörigem Eigenvektor gilt: . Verwende, dass invertierbar ist, um auf die Eigenwerte von zu schließen! Was wäre denn, wenn gelten würde? (Es gäbe dann einen speziellen Eigenwert! Warum darf es den aber nicht geben?) A propos: Die Determinante spielt dabei keine Rolle! Mfg Michael |
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Wenn der Eigenwert 0 wäre, dann würde die Matrix einen nicht-trivialen Kern haben (da der Eigenvektor nicht der Nullvektor ist) und somit wäre sie nicht injektiv und als Folge nicht bijektiv, weswegen sie nicht invertierbar wäre, was zu einem Widerspruch führt. Bei der anderen Aufgabe habe ich versucht die Inverse von links zu multiplizieren, aber da komme ich leider nicht voran. Irgendwie müsste man es schaffen das auf die eine Seite zu bringen und auf der anderen Seite müsste u.a. die Inverse stehen. |
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Hallo, klingt alles richtig bisher. Warum kommst du beim Multiplizieren mit der Inversen nicht weiter? Mfg Michael |
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Dann habe ich doch . Ich weiß nicht, wie ich da vereinfachen soll. |
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Hallo, warum bringst du nicht auf die andere Seite? Mfg Michael |
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Geht es vielleicht so? Wie komme ich dann auf die Gleichung, die ich zeigen soll? |
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Hallo, ja, genau so meinte ich es. Welche Information(en) entnimmst du dieser Gleichung? Mfg Michael |
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Die Eigenwerte der Inversen sind die reziproken Werte der Eigenwerte von A. |
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Hallo, korrekt. Außerdem ist jeder Eigenvektor von auch einer von ! Mfg Michael |
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Dann bin ich ja noch nicht fertig. Wie kann ich dann umformen, damit ich zu den Gleichung komme? |
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Hallo, ja, jetzt ist es Zeit, sich dem Minimalpolynom zuzuwenden. Es gilt ja und ist das kleinste Polynom (Polynom kleinsten Grades) mit dieser Eigenschaft. (Satz von Caley-Hamilton) Beginne bei und forme so um, dass überall statt Potenzen von nur noch solche von stehen. Der Rest ist eine Argumentation über den Grad und die Minimalitätseigenschaft. Insbesondere haben (offenbar) die Minimalpolynome einer Matrix und ihrer Inversen (unter diesen Bedingungen) denselben Grad. Mfg Michael |
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Also so? Wie geht es dann weiter? |
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Hallo, ich schrieb: > Beginne bei und forme so um, dass überall statt Potenzen von nur noch solche von stehen. Mit "forme so um" war nicht Ersetzen gemeint! Ist dir bekannt? Mfg Michael |
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Ja, das ist bekannt, aber wenn ich auf die andere Seite bringe, dann erhalte ich ein negatives Vorzeichen. |
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Hallo, > wenn ich a01n auf die andere Seite bringe, dann erhalte ich ein negatives Vorzeichen. Von diesem Schritt ist doch aber auch gar keine Rede. Multipliziere die genannte Gleichung mit ! Dann ergibt sich eine Gleichung -ten Grades in . Normiere diese! Führe Gradgründe ins Feld, dass diese Gleichung aus dem Minimalpolynom von entstanden sein muss. Mfg Michael |
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Okay, bin auf die Gleichung gekommen beim Ausmultiplizieren. Bin mir nicht sicher wegen der Begründung. Ich hätte gesagt, dass es das Matrixpolynom der Inverse ist, weil es das Polynom kleinsten Grades ist, bei dem 0 herauskommt, wenn man die Matrix (also die Inverse) einsetzt. Wenn die Aufgabe jetzt gelöst ist: Was nützt die obige Überlegung mit den Eigenwerten? |
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Hallo, man könnte einen (sehr steinigen) Weg über die Faktorisierung des Minimalpolynoms gehen. Da ich nicht wusste, ob Caley-Hamilton zur Verfügung steht, hatte ich das eingesammelt. Entschuldige, falls ich dich zu sehr mit Wissen belastet haben sollte. Die Begründung ist eine sehr einfache, aber eine andere als die, die ich aus deinem Beitrag herauslese. Offenbar kann man aus einem Polynom , welches als Nullstelle hat, ein Polynom gleichen Grades gewinnen, welches als Nullstelle hat. Dieser Vorgang geht auch in der anderen Richtung (klar machen). Diesen Vorgang hast du mit als gemacht. Da nun also die Nullstelle hat, gilt (aus diesem Grunde nennt man das ja auch MINIMALpolynom). Wäre der Grad von echt KLEINER als der von , so könntest du den Weg rückwärts mit machen und ein Polynom erhalten, das folgende Eigenschaften hat: * * der Grad von ist echt kleiner als der von Letzteres ist aber ein Widerspruch zu Minimaleigenschaft von . Details müssten natürlich noch geliefert werden. Mfg Michael |
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