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Aufgabe zu paarweise verschiedenen Primzahlen

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Elementare Zahlentheorie

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Teilbarkeit

Tags: Elementare Zahlentheorie, Primzahl, Sonstig, Teilbarkeit

birdbox

00:46 Uhr, 10.04.2016

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe (im Anhang) und weiß ehrlich gesagt gar nicht wie ich die angehen soll. An 1. liegt das Problem an "zeigen", ich weiß nicht wie ich es zeigen soll und bei 2. hab ich gar keine Idee, schon gar nicht wenns dann ums beweisen geht.

Freue mich auf jeden Tipp und gerne auch auf eine Lösung bzw. Lösungsschritte, dadurch kann ich es meistens immer am besten nachvollziehen.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Roman-22

11:38 Uhr, 10.04.2016

Bei

1)

gehts doch nur um die Primfaktorzerlegung von a und

b,

wobei eben, damit in beiden Fällen die gleichen

p_{k}

auftreten, auch der Exponent 0 verwendet werden kann.
Also zB

12 = 2^{2} \cdot 3^{1} \cdot 5^{0}

und

45 = 2^{0} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}

.
Mir ist hier allerdings nicht klar, ob die Aufgabenstellung tatsächlich verlangt, die Existenz der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl zu beweisen oder ob diese vorausgesetzt werden darf und es nur darum geht, zu zeigen(?), dass man immer die Dummy-Faktoren mit dem Exponenten Null einfügen kann.
Hängt wohl am Kontext, in dem die Aufgabe eingebettet ist.

Bei

2)

ist der

gcd (a, b) = \prod_{k = 1}^{n} p_{k}^{min (a_{k}, b_{k})}

und das

lcm (a, b) = \prod_{k = 1}^{n} p_{k}^{max (a_{k}, b_{k})},

aber welche Vermutung damit gezeigt werden soll, ist unklar.

R

birdbox

18:24 Uhr, 10.04.2016

Hey Roman, vielen Dank für deine Antwort. Wir sollten das beweisen, leider tue ich mir noch extrem schwer, was Beweise schreiben angeht.

LG

ledum aktiv_icon

21:49 Uhr, 10.04.2016

Du sagst "wir sollten !das" beweisen, was meinst du mit "das"
Gruß ledum

birdbox

00:17 Uhr, 11.04.2016

Ich meinte das im Zusammenhang mit dem Beitrag von Roman-22. Er schrieb: "Mir ist hier allerdings nicht klar, ob die Aufgabenstellung tatsächlich verlangt, die Existenz der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl zu beweisen oder ob diese vorausgesetzt werden darf und es nur darum geht, zu zeigen".

Und darauf meinte ich, dass wir das beweisen müssen und nicht einfach nur annehmen dürfen.

LG

ledum aktiv_icon

00:32 Uhr, 11.04.2016

Halllo
dazu siehe in wiki Primzahlzerlegung
Gruß ledum

birdbox

23:26 Uhr, 11.04.2016

Okay vielen Dank, was ist bei 2. das

l c m

?
Ich gehe mal davon aus, dass die Vermutung die Produktformel von gcd(a,b) ist, wie Roman-22 schön dargestellt hat, wie kann ich das beweisen?

ledum aktiv_icon

16:32 Uhr, 12.04.2016

benutze auch hier die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung, also

a = \prod p_{k}^{a_{k}}

)zeige dass die Formel

a)

ein Teiler von a und

b

ist und

b)

dass es keinen größeren gemeinsamen Teiler gibt gibt (durch Widerspruch)
Gruß ledum

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