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Aufgabe zum Konfidenzintervall

Universität / Fachhochschule

Tags: Wie geht man hier vor?

ChiaraSOS aktiv_icon

10:31 Uhr, 31.07.2019

Hallo, Ich sitze schon seit mehreren Stunden an den Übungsaufgaben und komme einfach nicht weiter

\frac{:}{}

. Könnt ihr mir bei der folgenden Aufgabe helfen?

„Auf einer bestimmten Flugroute wird ein Flugzeug mit

182

Sitzen eingesetzt. Langfristige Untersuchungen zeigen, dass die „No-Show Quoten“,

d . h

. die relative Häufigkeit

f

der Passagiere, die gebucht haben, aber nicht beim Check-in auftauchen im Mittel bei

0.11

liegen.

Wie viele Passagiere (von den bisherigen Flügen) müssen erfasst werden, damit das „alpha“

= 5 %

Konfidenzintervall für den Anteilswert „theta“ durch „theta“

E

(Elementzeichen)

[f - 0.03, f + 0.03]

gegeben ist?“

Die Lösung von der Aufgabe lautet

418

Passagiere. Aber wie kommt man darauf?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Danke im voraus!

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11:24 Uhr, 31.07.2019

Hallo,

das (approximierte) Konfidenzinterval für den Anteilswert

θ

ist

[f - z_{1 - \frac{α}{2}} \cdot \sqrt{\frac{f \cdot (1 - f)}{n}}, f + z_{1 - \frac{α}{2}} \cdot \sqrt{\frac{f \cdot (1 - f)}{n}}]

mit

f = 0.11

und

α = 0, 05

Welcher Teil des Konfidenzintervall ist jetzt

0, 03

? Wenn man dies weiß kann man eine Gleichung aufstellen.

Gruß

pivot

ChiaraSOS aktiv_icon

11:34 Uhr, 31.07.2019

Muss man nicht eigentlich weil die Standardabweichung nicht gegeben ist mit der

t -

Verteilung approximieren? Also vor dem1-(alpha/2),

t n - 1

(Freiheitsgrad minus

1)

hinschreiben?
Wie kommt man auf die Formel der Standardabweichung?
Ich dachte die Formel wäre

S^{2} = \frac{1}{n - 1} \cdot

Summe von (xj - xquer)^2. Aber damit weiß ich nicht wie man das berechnet
Was man mit der

0,03

macht bzw. Was das genau bedeutet verstehe ich garnicht

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12:08 Uhr, 31.07.2019

>>Muss man nicht eigentlich weil die Standardabweichung nicht gegeben ist mit der t− Verteilung approximieren?<<

Nicht wenn n>30 ist. Siehe dazu die Tabelle bei de.wikipedia.org/wiki/Konfidenzintervall#Ausgew%C3%A4hlte_Sch%C3%A4tzintervalle

>>Wie kommt man auf die Formel der Standardabweichung?<<

Die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsvariable ist

\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}

. Damit ist die Standardabweichung einer Stichprobe einer binomialverteiliten Zufallsvariablen gleich

\sqrt{V a r (\frac{X}{n})} = \sqrt{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}}

Das ist dann auch der Schätzer für die Standardabweichung von

\bar{X}

.

>>Ich dachte die Formel wäre ...<<

Das ist auch richtig, wenn du die Daten einer Stichprobe vorliegen hättest. Bei einer binomialverteilten Zufallsvariable genügt aber der Anteilswert um die Standardabweichung zu schätzen.

>>Was man mit der 0,03 macht bzw. Was das genau bedeutet verstehe ich garnicht<<

Was jetzt grundsätzlich ein Konfidenzintervall macht kannst du gerne in Wiki, deinem Skript und empfohlenen Literatur nachlesen. Für die Berechnung von

n

musst du jetzt nur das Konfidenzintervall aus der Aufgabe mit dem Konfidenzintrvall aus meinem Beitrag vergleichen.

ChiaraSOS aktiv_icon

12:23 Uhr, 31.07.2019

Woher weiß man, dass hier eine Binomialverteilung vorliegt?
Heißt das, dass man die

0.03

bzw.

- 0.03

mit dem Konfidenzintervall gleichsetzt?

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12:42 Uhr, 31.07.2019

>>Woher weiß man, dass hier eine Binomialverteilung vorliegt?<<

Die W´keit, dass ein ein einzelner Passagier den Flug antritt ist

p

. Und die W´keit, dass ein ein einzelner Passagier den Flug nicht antritt is

(1 - p)

. Damit ist die W´keit, dass k von n Passagieren den Flug antreten gleich

(\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

>>Heißt das, dass man die 0.03 bzw. −0.03 mit dem Konfidenzintervall gleichsetzt?<<

Das Minuszeichen ist ja auch in meinem symmetrischen(!) Konfidenzintervall enthalten. Im Prinzip musst du nur eine Seite betrachten.

0,03=...

Für die drei Punkte den entsprechenden Term von meinem Konfidenzintervall einsetzen.

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14:43 Uhr, 31.07.2019

Deine vorletzte Antwort, das mit der Varianz. Hast du hier die Varianz vom arithm. Mittel berechnet ja oder? Aber warum fällt das

n

im Zähler weg?

ChiaraSOS aktiv_icon

14:57 Uhr, 31.07.2019

Habe jetzt alles in die obige Gleichung eingesetzt. Jedoch komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.
Ich habe für

f = 0.11

und für

z 1 - (\frac{a}{2}) = 1.96

eingesetzt und die Gleichung gleich

0.03

gesetzt.
Liegt das vielleicht daran, dass ich

z 1 - (\frac{a}{2})

nicht mit der Binomialverteilung ausgerechnet habe?
Wenn ich das dann damit rechnen muss, muss ich dann für den Erwartungswert für

n = 182

und

p = 0.11

nehmen?

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19:14 Uhr, 31.07.2019

>>Deine vorletzte Antwort, das mit der Varianz. Hast du hier die Varianz vom arithm. Mittel berechnet ja oder? Aber warum fällt das n im Zähler weg?<<

Ja. Ich habe es auch nicht richtig hergeleitet.

Das n wandert deswegegen in den Nenner weil

v a r (\bar{X}) = v a r (\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = {(\frac{1}{n})}^{2} \cdot v a r (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = {(\frac{1}{n})}^{2} \cdot \sum_{i = 1}^{n} v a r (X_{i})

,

Dabei ist

X_{i}

eine bernoulliverteilte Zufallsvariable mit der Varianz von

p \cdot (1 - p)

.

Das letzte Gleichheitszeichen gilt nur, weil die Zufallsvariablen

X_{i}

unabhängig sind. Die die Varianzen für jedes

X_{i}

gleich

p \cdot (1 - p)

ist ergibt sich

= {(\frac{1}{n})}^{2} \cdot \sum_{i = 1}^{n} p \cdot (1 - p)

Der Term

p \cdot (1 - p)

kann vor die Summe geschrieben werden (ausklammern), da er nicht vom Index i abhängt.

= {(\frac{1}{n})}^{2} \cdot p \cdot (1 - p) \cdot \sum_{i = 1}^{n} 1 = {(\frac{1}{n})}^{2} \cdot p \cdot (1 - p) \cdot n = \frac{p \cdot (1 - p)}{n}

Prinzipiell richtig was du in deinem letzten Beitrag geschrieben hast. Also ist die Gleichung

0, 03 = 1, 96 \cdot \sqrt{\frac{0, 11 \cdot 0, 89}{n}}

Nun die Gleichung nach

n

auflösen.

ChiaraSOS aktiv_icon

19:52 Uhr, 31.07.2019

Jetzt habe ich das mit der Varianz verstanden :-)
Ich habe

0.11 - 1.96 \cdot

Wurzel von etc. gerechnet und das dann gleich

0.03

gesetzt. Warum muss man die

0.11

hier weglassen?

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20:10 Uhr, 31.07.2019

Wenn du die Formeln vergleichst dann sieht du, dass man nur die Abweichungen gleichsetzen muss. 0,03 ist die eine Abweichung und die andere ist eben

z_{0, 975} \cdot \sqrt{\frac{0, 11 \cdot 0, 89}{n}}

ChiaraSOS aktiv_icon

20:19 Uhr, 31.07.2019

Habs verstanden. Vielen Dank für die ausführlichen Antworten :-)

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20:21 Uhr, 31.07.2019

Gerne. Freut mich, dass alles klar ist.

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