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Dichtefunktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Dichtefunktion

MaxwellF1 aktiv_icon

20:51 Uhr, 25.06.2020

Hallo,
In folgender Aufgabe zur Dichtefunktion (Bild) soll ich diese Skizzieren, sowie ein Intervall angeben. Hierbei ist mir unklar wie man von der Formel auf die Skizze kommt und wie ich das Fütterungsintervall berechne.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

23:19 Uhr, 25.06.2020

Halloj
jeder Funktionsplotter kann dir die Funktion plotten, notfalls du indem due ein paar werte einsetzt?

2. das Integral von 0 bis

\infty

ausrechnen von

- \infty

bis 0 ist ja 0 auch das ist einfach. wo genau liegt das Problem?
Gruß ledum

MaxwellF1 aktiv_icon

23:29 Uhr, 25.06.2020

Okay, dann mache ich das so. Dachte nur beim skizzieren wäre da noch etwas zu beachten.
Jedenfalls ist das Integrieren für mich etwas schwierig, muss ich das a wie eine Variable behandeln? Ich hab für die Stammfunktion

- e^{\frac{t^{2}}{2 a^{2}}}

.

Ist die mittlere Länge dann einfach 1?
Weil der Beweis für eine Dichtefunktion ist doch, dass die Gesamtfläche einfach 1 ist oder nicht?

HAL9000

08:56 Uhr, 26.06.2020

Stammfunktion schön und gut, aber dem Problem angemessener wäre gleich die Angabe der Verteilungsfunktion

F (t) = \int_{- \infty}^{t} p (τ) d τ

, und die ist hier

F (t) = {\begin{array}{ll} 0 & für t < 0 \\ 1 - e^{- \frac{t^{2}}{2 a^{2}}} & für t \geq 0 \end{array}

.

Für den Erwartungswert

E (T)

hat man mehrere Möglichkeiten der Berechnung: Standard wäre

E (T) = \int_{- \infty}^{\infty} t p (t) d t

; für positive Zufallsgrößen wie hier ist auch Formel

E (T) = \int_{0}^{\infty} (1 - F (t)) d t

ganz brauchbar, da wäre hier dann

E (T) = \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{t^{2}}{2 a^{2}}} d t

.

Kenner der Normalverteilung müssten an der Stelle stutzen: Der Integrand entspricht bis auf den fehlenden Vorfaktor

\frac{1}{\sqrt{2 π} a}

der Dichte der Normalverteilung

N (0, a^{2})

. Damit bekommen wir

E (T) = \sqrt{\frac{π}{2}} a \cdot \frac{1}{\sqrt{2 π} a} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{t^{2}}{2 a^{2}}} d t = \sqrt{\frac{π}{2}} a

,

weil ja das Integral über diese Normalverteilungsdichte gleich 1 ist.

MaxwellF1 aktiv_icon

09:21 Uhr, 26.06.2020

Ist das dann nicht

\frac{1}{2}

? Wenn das Integral

= 1

ist, dann bleibt doch

{(\frac{π \cdot a}{2})}^{0,5} \cdot \frac{1}{{(2 \cdot π \cdot a)}^{0,5}}

HAL9000

09:26 Uhr, 26.06.2020

Manche Leute posten lieber mal erst, statt dass die Antworten gründlich lesen - besonders die Crossposter (liegt wohl an deren notorischer Ungeduld):

Das Integral über die NORMALVERTEILUNGSDICHTE von

N (0, a^{2})

ist gleich 1, d.h.

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π} a} e^{- \frac{t^{2}}{2 a^{2}}} d t = 1

.

Die Abtrennung dieses Vorfaktors oben habe ich doch nicht aus reinem Jux und Dollerei gemacht, damit du sie gleich zerstören kannst. :(

Das zusätzliche

\frac{1}{2}

rührt von

\int_{0}^{\infty} e^{- \frac{t^{2}}{2 a^{2}}} d t = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{t^{2}}{2 a^{2}}} d t

her.

Ein weiterer Fehler ist, dass du das

a

mit unter die Wurzel gezogen hast: Das steht AUSSERHALB der Wurzel!!!

MaxwellF1 aktiv_icon

09:54 Uhr, 26.06.2020

Ich wollte dich nicht persönlich angreifen, sonder hab nur einige Verständnisschwierigkeiten :-D)
Und Ungedult entsteht immer durch Abgabefristen.

HAL9000

10:02 Uhr, 26.06.2020

Ich sehe das nicht als persönlichen Angriff. Schon eher, dass du Crossposterei betreibst, ohne die beteiligten Foren über die Aktivität in den jeweils anderen Foren zu informieren. Die Leute in diversen Foren quasi vollkommen sinnlos arbeiten zu lassen, wenn die Sache im anderen Forum längst geklärt ist, empfinde ich ziemlich asozial.

Damit wir uns nicht falsch verstehen: Ich bin nicht generell gegen Crosspostings - aber bitte unter Wahrung der o.g. Transparenz.

MaxwellF1 aktiv_icon

10:43 Uhr, 26.06.2020

Ist denn jetzt die Lösung für das mittlere Intervall ca.

1,25

HAL9000

11:32 Uhr, 26.06.2020

Im Fall

a = 1

ja.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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