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Aufgabe zur Gaußschen Summenformel

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Summenformel

Sagat aktiv_icon

23:13 Uhr, 25.09.2015

Hi,

da bin ich wieder, wahrscheinlich mit einer eher simplen Aufgabe,
aber ich komme einfach nicht auf das Ergebnis:

Berechnen Sie mit Hilfe der Rechenregeln für Summen:

damit sind die allgemeinen Regeln für Summen gemeint, wie konstante Faktoren ausklammern oder Summen auseinanderziehen etc.

a) 5 + 10 + 15 + 20 + 25 +

· · ·

+ 100

Immer plus 5

b) \frac{3}{4} + \frac{3}{2} + 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96

Immer Faktor mal 2 ?

c)

−1 − 2 − 3 − 4 − . . . −

10

und

- n

\sum_{i = 1}^{n} = \frac{n}{2} (n + 1)

ist ja die Gaußsche Summenformel, jedoch immer für

n + 1,

aber wie
muss ich die Formel nun modifizieren, damit sie auf jede 5te Zahl bis einhundert stimmt?
Geht das überhaupt oder denke ich in die total falsche Richtung?

Ich habe versucht in die Formel für

n = 20

einzusetzen

(20

Zahlen), jedoch stimmt das Ergebnis nicht.

Für den Therm:

\sum_{i = 1}^{n} = \frac{n}{10} (n + 5)

stimmt das Ergebnis wenn man für

n = 100

einsetzt und durch zehn teilt, aber das war reines ausprobieren.

Wäre schön, wenn jemand mit mir die möglichen Lösungswege durchgeht. Ich möchte das ganze verstehen und keine Lösung vorgekaut bekommen.

Liebe Grüße

Sagat

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

23:16 Uhr, 25.09.2015

Meinst du, dass du bei der Summe

a)

vielleicht eine Zahl als Faktor ausklammern kannst?
Was bleibt dann in der Klammer noch übrig?
Alternativ gibts ja nicht nur die klassische Gaußsche Summenformel, sondern auch eine allgemeinere für endliche arithmetische Reihen, die du hier direkt verwendet könntest.

Bei

b)

solltest du mal an geometrische Reihen (und die dazu gehörige Summenformel) denken.

CKims aktiv_icon

23:22 Uhr, 25.09.2015

a)

klammere 5 aus der summe aus

b)

klammere 3 aus, schreib das ganze um mit summenzeichen (geometrische reihe)

c)

klammer

- 1

aus der summe aus

lg

Sagat aktiv_icon

23:26 Uhr, 25.09.2015

Ich könnte die 5 ausklammern. Und dann eben für

i = 1,2,3,4,5 . .

20

. eingeben, bis ich auf die

100

komme.

also sprich:

5 \sum_{i = 1}^{n} = \frac{n}{2} (n + 1),

Wenn ich jetzt für

n = 20

eingebe sprich

5 \sum_{i = 1}^{n} = \frac{n}{2} (n + 1)

dann bekomme ich das richtige Ergebnis

1050

heraus.
Vielen Dank, ich wusste das es einfach eine simple Überlegung ist, aber manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Aber machen wir mal weiter mit den anderen Aufgaben :-)

Grüße

Sagat aktiv_icon

23:27 Uhr, 25.09.2015

Vielen Dank CKims, jedoch wollte ich genau das nicht. :-)
Aber nun ja, jetzt habe ich zumindest die Lösungen und kann mir das ganze nochmal genauer anschauen.

LG

Sagat aktiv_icon

23:39 Uhr, 25.09.2015

Hey Roman,

a und

c

waren jetzt absolut kein Problem mehr,
aber

b

schnall ich immernoch nicht, wie funktioerniert das ausklammern von 3?

Liebe Grüße

pleindespoir aktiv_icon

23:50 Uhr, 25.09.2015

Distributivgesetz:

6 + 12 + 24 = 3 \cdot (2 + 4 + 8)

Roman-22

03:34 Uhr, 26.09.2015

>

aber

b

schnall ich immernoch nicht, wie funktioerniert das ausklammern von 3?

b)

ist, wie ich ja auch schon geschrieben hatte, im Gegensatz zu

a)

und

c)

keine arithmetische Reihe sondern eine geometrische. Daher kannst du ausklammern was du willst - der Ausdruck in der verbleibenden Klammer wird immer eine geometrische Reihe sein.

Warum du ausgerechnet 3 ausklammern solltest ist nicht wirklich einzusehen. Du kannst ja, wenn du unbedingt willst,

\frac{3}{4}

ausklammern und erhältst dann eben

\frac{3}{4} \cdot (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128),

aber wenn du für den Klammerausdruck nicht wieder etwas fix fertiges wie die Gauß-Formel parat hast, nützt dir das wohl auch nichts.
Wenn du allerdings weißt, dass

\sum_{k = 0}^{n} 2^{k} = 2^{n + 1} - 1

gilt, dann bist du damit natürlich fertig.

Warum aber möchtest du nicht die allgemeine Summenformel für endliche geometrische Reihen nachschlagen

(\to \sum_{k = 1}^{n} (a_{1} \cdot q^{k - 1}) = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1})

und dann direkt ohne Ausklammern anwenden

(a_{1} = \frac{3}{4}, q = 2, n = 8)

R

Sagat aktiv_icon

11:32 Uhr, 26.09.2015

Hallo Roman,

super, deine Antwort hat mir sehr geholfen. Mich hat ehrlich gesagt sehr verwirrt, dass der Vorpost mir vorschlug die drei auszuklammern, weil ich das nicht ganz logisch fand.

Ich kennen diese Formel:

\sum_{i = 1}^{n} = 2^{n + 1} - 1

allerdings habe ich nicht verstanden, warum mir das weiterhelfen sollte und die letzte Formel (endliche geometrische Reihe) haben wir in der Uni bisher nicht behandelt, also bin ich nicht
davon ausgegangen, dass ich die für die Lösung der Aufgabe brauche. Nichts desto trotz, bin ich natürlich während meiner Internetrecherche auf diese Formel gestoßen und habe mich gefragt, warum unter dem Bruchstrich

1 - q

steht? Hat das was mit der Endlichkeit zu tun?

Liebe Grüße

Sagat

ledum aktiv_icon

15:02 Uhr, 26.09.2015

Hallo
deine Summe ohne Summanden (wohl

2^{i})

ist recht sinnlos
sieh dir die Herleitung der summenformal für

\sum_{i = 0}^{n} (q^{n} z . b

in wiki unter geometrische Reihe Herleitungan dann siehst du woher der Nenner kommt. bei

q = 2

ist er 1 darum siehst du ihn nicht.
gruß ledum

Roman-22

16:08 Uhr, 26.09.2015

>

Ich kennen diese Formel:

\sum_{i = 1}^{n} = 2^{n + 1} - 1

Ich nicht! Denn das ist keine Formel, sondern eine grausame Verstümmelung - wovon auch immer. Du hast das nun schon zum wiederholten Mal hier im Thread gemacht, dass du ein Summenzeichen verwendest und nicht angibst, was du aufsummieren möchtest.

Ich habe dir

\sum_{k = 0}^{n} 2^{k} = 2^{n + 1} - 1

vorgeschlagen (beachte hier

u . a

. auch, dass ich mit

k = 0

beginne) und du hast offenbar den Bezug zu deiner Aufgabe nicht gesehen. Daher schlage ich dir vor, dass du dir zunächst einmal alle Summanden der durch das Summenzeichen gegebenen Reihe aufschreibst - am Besten gleich acht Glieder, also mit

n = 7

.
Los gehts:

\sum_{k = 0}^{7} 2^{k} = . .

.
Nun solltest du dann den Bezug zur Aufgabe sehen, wenn du dir noch ansiehst, wie deine Reihe aussieht, wenn du

\frac{3}{4}

ausklammerst.

>

und die letzte Formel (endliche geometrische Reihe) haben wir in der Uni bisher nicht behandelt,

>

also bin ich nicht davon ausgegangen, dass ich die für die Lösung der Aufgabe brauche.
Ich kenne die Gegebenheiten in deinem Studium nicht, aber ich würde eher davon ausgehen, dass im Studium Schulwissen vorausgesetzt und benötigt wird.

>

habe mich gefragt, warum unter dem Bruchstrich
dieser magische Ort wird von Eingeweihten "Nenner" genannt

> 1 - q

steht? Hat das was mit der Endlichkeit zu tun?
???? Ist das eine esoterische Frage oder doch eher eine philosophische?
Damit, dass deine Reihe endlich ist, hat der Nenner nichts zu tun. Eher noch der Zähler

q^{n} - 1,

denn für konvergente unendliche geometrische Reihen

(| q | < 1)

strebt

q^{n}

für

n \to \infty

ja gegen Null. Und damit hast du sofort die Summenformel für konvergente unendliche geometrische Reihen mit

s = a_{1} \cdot \frac{1}{1 - q}

.

Ich weiß ja nicht, was der tiefere Sinn dieser Aufgaben sein soll und welche Handlungen von dir da erwartet werden. Vielleicht sollst du auch gar keine fertigen Formel verwenden sondern dich einfach damit herum spielen, um dann später die Herleitung allgemeiner Formeln leichter zu verstehen. In diesem Fall könntest du, entsprechend einer gängigen Methode, die Formel für die Partialsummen geometrischer Reihen herzuleiten, das Ergebnis deiner Reihe

S

nennen, also

S = \frac{3}{4} + \frac{3}{2} + ... + 96

Nun multipliziere diese Gleichung beidseits mit 2 und schreibe aber die Summe rechts geschickt unter jene der ersten Zeile.
Fällt dir etwas auf?
Auf welche verwegene Idee könnte man nun mit diesen beiden Gleichungen kommen?

R

Sagat aktiv_icon

17:45 Uhr, 26.09.2015

Hallo Roman,

Entschuldige bitte meine Unachtsamkeit, natürlich ist mir bewusst, dass ich hinschreiben muss, was ich aufsummieren will. Also für

\sum_{k = 0}^{7} 2^{k} = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128

wenn ich jetzt das ganze mal

\frac{3}{4}

rechne,
wird mir der Bezug zu meiner Geometrischen Reihe schon klar.
Nur was versuchst du mir da im letzten Abschnitt zu erklären?
Welche Gleichung meinst du?

etwa das hier:

2 s = 2 (\frac{3}{4} + \frac{3}{2} + ... + 96)

und dieses Ergebnis soll ich unter welche Formel schreiben?

unter:

\sum_{k = 0}^{7} 2^{k} = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128

?

Liebe Grüße

Danyal

ledum aktiv_icon

12:18 Uhr, 27.09.2015

Hallo

S_{n} = 1 + 2 + 2^{2} + ...

+ 2^{n}

2 \cdot S_{n} = 2 + 2^{2} + ... ... ... 2^{n} + 2^{n + 1}

das ist geschickt übereinandergeschrieben.
jetzt bilde

2 S_{n} - S_{n} = (2 - 1) \cdot S_{n}

(mach dasselbe mit

q

statt

2)

Gruss ledum

Roman-22

16:02 Uhr, 27.09.2015

>

und dieses Ergebnis
Erst ausrechnen

2 \cdot S = \frac{3}{2} + 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192

>

soll ich unter welche Formel schreiben?
nicht Formel - Gleichung, und zwar diese:

S = \frac{3}{4} + \frac{3}{2} + 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96

Und jetzt subtrahiere diese beiden Gleichungen, wie von ledum schon vorgeschlagen, und freue dich über die vielen, sich einander aufhebenden, Summanden.

2 S - S = ...

S = ...

.

und du hast einen schönen Ausdruck für die Summe S.

Wenn du nun den gleichen Trick für eine geometrische Reihe mit allgemeinem Anfangswert

a_{1}

(anstelle deiner

\frac{3}{4}),

allgemeinen Quotienten

q

(anstelle deiner

2)

und allgemeiner Gliederanzahl

n

(anstelle deiner

8)

anwendest, erhältst du die von mir schon früher hier genannte Formel für die n-te Partialsumme einer Geometrischen Reihe.

R

Sagat aktiv_icon

17:41 Uhr, 28.09.2015

Ich fange euch beiden vielmals! Das ist schön, das hier alle so hilfsbereit sind :-)

Vielen Dank!

Grüße

Sagat

Sagat aktiv_icon

17:41 Uhr, 28.09.2015

Ich danke euch beiden vielmals! Das ist schön, das hier alle so hilfsbereit sind :-)

Vielen Dank!

Grüße

Sagat

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