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Aufgabe zur Multiplikation von Dreiecksmatrizen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Dreiecksmatrix, Matrizenrechnung

LeniLena aktiv_icon

16:18 Uhr, 26.10.2010

Hallo an alle,

ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe zur Multiplikation von Dreiecksmatrizen:

Sei A eine obere Dreiecksmatrix. Beweisen Sie, dass das Produkt von zwei oberen Dreiecksmatrizen wieder eine obere Dreiecksmatrix ist.

Ich bin dankbar für jede Hilfe!

m-at-he

16:37 Uhr, 26.10.2010

Hallo,

einfachster Weg: Vollständige Induktion. Zeige, daß das für 2x2-Matrizen gilt, indem Du nur das linke untere Element der Ergebnismatrix berechnest und das Null ergibt.

Dann hast Du die IV für

n

. Zeige, daß eine rechts angefügte Spalte und eine unten angefügte Zeile (die Zeile mit lauter Nullen außer rechts unten einem beliebigen Wert) dazu führt, daß bei den Elementen in der nxn-Marix links oben keine Änderungen auftreten, weil die hinzukommenden Summanden alle den Faktor 0 aus der letzten Zeile der Spalte des zweiten Faktors enthalten. Damit bleibt die Dreiecksform in dieser nxn-Teilmatrix erhalten. Nun mußt Du nur noch zeigen, daß wegen der letzten Zeile des ersten Faktors alle Ergebnisse in der letzten Zeile Null werden und nur das ganz rechte Element das Produkt der beiden letzten Elemente der beiden Faktoren ist.

LeniLena aktiv_icon

20:44 Uhr, 26.10.2010

Ich muss sagen ich verstehe den Teil am Anfang des zweiten Absatzes nicht, wo du eine neue Spalte und eine neue Zeile hinzufügst. Könntest du denn nochmals genauer beschreiben? das wäre super...

m-at-he

21:54 Uhr, 26.10.2010

Hallo,

IV:

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 (n - 1)} & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2 (n - 1)} & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 & a_{n n} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 (n - 1)} & b_{1 n} \\ 0 & b_{22} & \dots & b_{2 (n - 1)} & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 & b_{n n} \end{matrix})

= (\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 (n - 1)} & c_{1 n} \\ 0 & c_{22} & \dots & c_{2 (n - 1)} & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 & c_{n n} \end{matrix})

IB:

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 (n - 1)} & a_{1 n} & a_{1 (n + 1)} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2 (n - 1)} & a_{2 n} & a_{2 (n + 1)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 & a_{n n} & a_{n (n + 1)} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & a_{(n + 1) (n + 1)} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 (n - 1)} & b_{1 n} & b_{1 (n + 1)} \\ 0 & b_{22} & \dots & b_{2 (n - 1)} & b_{2 n} & b_{2 (n + 1)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 & b_{n n} & b_{n (n + 1)} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & b_{(n + 1) (n + 1)} \end{matrix})

= (\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 (n - 1)} & c_{1 n} & c_{1 (n + 1)} \\ 0 & c_{22} & \dots & c_{2 (n - 1)} & c_{2 n} & c_{2 (n + 1)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 & c_{n n} & c_{n (n + 1)} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & c_{(n + 1) (n + 1)} \end{matrix})

In der Lösung für

C_{(n + 1) (n + 1)}

gilt für c_(ij) mit

1 \leq i \leq n

und

1 \leq j \leq n

c_{i j} = a_{i 1} \cdot b_{1 j} + a_{i 2} \cdot b_{2 j} + . .

+ a_{i (n - 1)} \cdot b_{(n - 1) j} + a_{i n} \cdot b_{n j} + a_{i (n + 1)} \cdot b_{(n + 1) j}

c_{i j} = a_{i 1} \cdot b_{1 j} + a_{i 2} \cdot b_{2 j} + . .

+ a_{i (n - 1)} \cdot b_{(n - 1) j} + a_{i n} \cdot b_{n j} + a_{i (n + 1)} \cdot 0

c_{i j} = a_{i 1} \cdot b_{1 j} + a_{i 2} \cdot b_{2 j} + . .

+ a_{i (n - 1)} \cdot b_{(n - 1) j} + a_{i n} \cdot b_{n j}

Das ist genau das selbe wie in der Lösung der IV und damit eine Dreiecks- (Teil-) matrix der Lösung.

Für die letzte Zeile

(1 \leq j \leq n + 1)

gilt:

c_{(n + 1) j} = a_{(n + 1) 1} \cdot b_{1 j} + a_{(n + 1) 2} \cdot b_{2 j} + . .

+ a_{(n + 1) (n - 1)} \cdot b_{(n - 1) j} + a_{(n + 1) n} \cdot b_{n j} + a_{(n + 1) (n + 1)} \cdot b_{(n + 1) j}

c_{(n + 1) j} = 0 \cdot b_{1 j} + 0 \cdot b_{2 j} + . .

+ 0 \cdot b_{(n - 1) j} + 0 \cdot b_{n j} + a_{(n + 1) (n + 1)} \cdot b_{(n + 1) j}

c_{(n + 1) j} = a_{(n + 1) (n + 1)} \cdot b_{(n + 1) j}

Für

1 \leq j \leq n

ist

b_{(n + 1) j} = 0

und somit

c_{(n + 1) j} = 0

. Was für die Dreiecksform keine Rolle spielt und nur der Vollständigkeit halber erwähnt sein soll: Für

j = n + 1

ist

c_{(n + 1) j} = c_{(n + 1) (n + 1)} = a_{(n + 1) (n + 1)} \cdot b_{(n + 1) (n + 1)}

LeniLena aktiv_icon

15:30 Uhr, 27.10.2010

Dankeschön für deine schnelle Hilfe. Hab die Aufgabe jetzt echt verstanden.

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