Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Aufgabe zur Normalverteilung

Aufgabe zur Normalverteilung

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Normalverteilung, Standardabweichung, Standardnormalverteilung, Varianz, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

NoFearOfFainting aktiv_icon

04:15 Uhr, 16.02.2020

Hi,

"Die Massen von Christstollen seien normalverteilt mit

μ = 1000 g

und

σ = 20 g

und unabhängig voneinander. Die Christstollen werden in Kartons à

16

Stück verpackt. Das Verpackungsmaterial wiegt exakt

250 g

. Wie ist die Gesamtmasse der gefüllten Kartons verteilt? Bestimmen Sie die W'keit, dass ein Karton weniger als

16100 g

wiegt.

Bei

X_{i} :=

"Einzelmasse Christstollen" mit

X_{i} \sim N (1000 g, 400 g^{2})

sind wir uns denke ich alle einig (auch wenn ich das Quadrieren der Einheit hier irgendwie als nicht wirklich problemlos interpretierbar oder gar zielführend erachte).

Nun stellt sich mir die Frage, ob ich das Verpackungsgewicht in die ZV

G :=

"Gesamtmasse verpackt/unverpackt" direkt miteinbeziehen soll, oder das Verpackungsgewicht möglichst lange "ignorieren" soll.

Ich tendiere dazu, das Verpackungsgewicht -- als konstanten, die Streuung nicht beinflussenden Parameter -- erst einmal wegzulassen, um den Erwartungswert nicht zu "verfälschen" und würde folgendermaßen rechnen:

G_{U} = \sum_{i = 1}^{16} X_{i}

\Rightarrow μ_{U} = E (G_{U}) = 16 μ = 16000 g

\Rightarrow σ_{U}^{2} = V a r (G_{U}) = 16 σ^{2} = 6400 g^{2} \Rightarrow σ_{U} = 80 g

\Rightarrow P (G_{V} < 16100 g) = P (G_{U} < 16100 g - 250 g) = P (G_{U} < 15850 g) = Φ (\frac{15850 g - 16000 g}{80 g}) = 0, 0304

In den Lösungen, die ich habe, sieht der Rechenweg eine sofortige Miteinbeziehung des Verpackungsgewichts vor:

G_{V} = \sum_{i = 1}^{16} (X_{i}) + 250 g

\Rightarrow μ_{V} = E (G_{V}) = 16 μ + 250 g = 16250 g

\Rightarrow σ_{V}^{2} = V a r (G_{V}) = 16 σ^{2} = 6400 g^{2} \Rightarrow σ_{V} = 80 g

\Rightarrow P (G_{V} < 16100 g) = Φ (\frac{16100 g - 16250 g}{80 g}) = 0, 0304

Letztere Variante löst in mir Unbehagen aus, da der Erwartungswert "manipuliert" wird, die Varianz sich aber nach wie vor allein von

X_{i}

herleitet. Warum kann man hier zum ursprünglichen Erwartungswert ohne Weiteres die

250 g

hinzuaddieren? Warum tut man Selbiges nicht auch mit der Varianz?

Was ist "Best Practice"?
Vor allem die Philosophen und Neurotiker unter euch sind nun gefragt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

04:49 Uhr, 16.02.2020

Hallo,

wir sind uns ja einig, dass die Varianz des Gewichts der 16 Christstollen zusammen gleich (ohne Karton)

6400 g^{2}

ist.

V a r (G_{U}) = 6400 g^{2}

. Nun wird noch das konstante Gewicht des Kartons addiert.

V a r (G_{V}) = V a r (G_{U} + 250)

.

Jetzt gilt allgemein für eine beliebige konstante

C

und der Zufallsvariablen X, dass

V (X + C) = V a r (X) + V a r (C) + 2 \cdot C o v (X, C) = V a r (X) + 0 + 0 = V a r (X)

ist. Die Addition (Subtraktion) der Konstanten

C

hat keinen Einfluss auf die Gesamtvarianz. Somit ist

V a r (G_{V}) = V a r (G_{U})

.

Gruß

pivot

NoFearOfFainting aktiv_icon

05:28 Uhr, 16.02.2020

Ok, dann ist das mit der Varianz schon einmal geklärt. Wären denn grundsätzlich beide Lösungsansätze argumentationstechnisch korrekt?

pivot aktiv_icon

06:00 Uhr, 16.02.2020

Der zweite schon. Beim ersten ist nicht klar, wieso du 250 abziehst.

Die standardisierte ZV ist

\frac{x - μ}{σ}

. Also ist

x = 16100

μ = 16000 + 250

und

σ = \sqrt{6400} = 80

.

Du willst ja

P (G V \leq 16100)

berechnen. Meiner Meinung nach musst du nicht und solltest du nicht mit

G_{U}

hantieren. Natürlich ist

x - μ = x - C - (μ - C)

, mit

C = 250

. Aber von der Logik her wird nach der W´keit gefragt, dass die Geasamtpackung (inkl. Karton) kleiner

16100

ist. Rein theoretisch hätte auch z.B.

C = 283

sein können und deine Rechnung hätte immer noch gestimmt. Das wäre aber ebenfalls nicht sachlogisch gewesen.

NoFearOfFainting aktiv_icon

06:48 Uhr, 16.02.2020

G = X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n} \Rightarrow E (G) = E (X_{1}) + E (X_{2}) + . . . + E (X_{n})

ergibt Sinn, weil ausschließlich Zufallsvariablen addiert werden, eine neue Zufallsvariable entsteht und der Erwartungswert dann einfach

n \cdot E (X_{i})

ist, right?

Muss ich mir das Zustandekommen des Erwartungswertes im Fall mit Verpackungsgewicht dann so vorstellen?

G = X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n} + C \Rightarrow E (G) = E (X_{1}) + E (X_{2}) + . . . + E (X_{n}) + E (C)

Wird die Konstante

C

dann also einfach wie eine weitere ZV behandelt und der Erwartungswert von

C

, der ja wieder

C

ergibt, auf den kumulierten Erwartungswert aller

X_{i}

hinzuaddiert?

pivot aktiv_icon

08:23 Uhr, 16.02.2020

Alles richtig. Vielleicht sollte ich noch erwähnen, dass

C

eben keine Zufallsvariable ist.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1495142

1495134

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?