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Hallo, komme gerade bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter, wäre schön wenn man mir bei Ansetzen auf die Sprünge hilft. MfG Simon
Seien λ > 0, X eine Poisson(λ)-verteilte Zufallsvariable und f : → mit < ∞ für einε > 0. Zeigen Sie für alle k ∈ : < ∞.
Mit := Erwartungswert :=n*(n-1)*...*(n-(k-1))
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Es gilt:
Mit konnte ich nichts wirklich mit anfangen
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Man kann ausgehend von deiner Umformung anschließend mit der Hölder-Ungleichung argumentieren, laut der ist ja
für positive reelle Zahlen mit . Hier wählen wir und bekommen damit
.
Laut Voraussetzung ist der zweite Faktor rechts endlich, es ist damit hinreichend zu zeigen, dass auch endlich ist. Das sollte aber kein Problem sein, denn mit gilt ja auf jeden Fall
,
und von der Poisson-Verteilung sind ja alle Momente endlich.
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Hallo, danke für diesen Weg, diese Ungleichung kannte ich noch nicht, hatte auch einen Weg gefunden über das Quotientenkriterium. MfG
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> diese Ungleichung kannte ich noch nicht,
Dann freue ich mich geholfen zu haben, diese Bildungslücke zu schließen: Schließlich ist die Hölderungleichung ein zentrales Hilfsmittel für Beweise in der Maßtheorie, auch und gerade zu Eigenschaften von -Räumen.
Was du im Zusammenhang hier mit "Quotientenkriterium" meinst, ist mir jetzt nicht präsent.
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Aus der Vorraussetzung konnte man mithilfe des Quotientenkriterium folgendes schließen:
und damit gilt
für alle #
nun formt man beim gesuchten um:
nun wieder mit dem Quotientenkriterium:
mit und # folgt dann
ddamit folgt die Behauptung aus dem Quotientenkriterium
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Wieso soll man aus der Konvergenz einer Reihe auf schließen dürfen? Diese "Umkehrung" des Quotientenkriteriums ist i.a. falsch, man schaue sich etwa das Gegenbeispiel
an. Damit ist bereits die Aussage in deiner dritten Zeile hinfällig, und es sind wohl größere Umbauten im Beweis nötig ... falls er überhaupt noch in dieser Weise gelingt. :(
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Direkt aus der Lösung entnommen:
"Es gilt:
Um die Konvergenz dieser Reihe zu zeigen, genügt es nach dem Quotientenkriterium nachzuweisen, dass gilt.
Wegen gilt:
Daher gilt:
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Auch wenn es irgendeiner "offiziellen" Lösung entnommen ist, ist dieser Schluss dennoch falsch. Traurig, dass dich das Gegenbeispiel nicht überzeugt - aber wenn du dich dieser offenkundige Tatsache verweigerst, kann ich auch nichts machen.
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Ich habs schon das Gegenbeispiel durchgerechnet und hab auch gesehen das man daraus das nicht schließen darf, wollte nur die "Lösung" eins zu eins abtippen, falls ich mich oben irgendwie vertippt habe, werde mal den Professor darauf hinweisen.
Danke für die Hilfe.
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