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Aufgabe zur Poisson-Verteilung

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

 
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candys123

candys123 aktiv_icon

17:05 Uhr, 04.11.2019

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Hallo, komme gerade bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter, wäre schön wenn man mir bei Ansetzen auf die Sprünge hilft.
MfG Simon

Seien λ > 0, X eine Poisson(λ)-verteilte Zufallsvariable und f : N0R+ mit E(f(X)1+ε) < ∞ für einε > 0.
Zeigen Sie für alle k ∈ :
E(f(X+k)) < ∞.

Mit E:= Erwartungswert
(n)k:=n*(n-1)*...*(n-(k-1))

____________________________________________

Es gilt:
E(f(X+k))=j=0infinityf(j+k)*λjj!*e-λ=...=λ-k*E((X)k*f(x))=E((X)k*f(X))E((X)k)

Mit E(f(X)1+ε) konnte ich nichts wirklich mit anfangen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

09:10 Uhr, 07.11.2019

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Man kann ausgehend von deiner Umformung anschließend mit der Hölder-Ungleichung argumentieren, laut der ist ja

EUV(E(Up))1p(E(Vq))1q

für positive reelle Zahlen p,q mit 1p+1q=1. Hier wählen wir U=(X)k,p=1+1ε,V=f(X),q=1+ε und bekommen damit

E((X)kf(X))(E((X)k1+1ε))ε1+ε(E(f(X)1+ε))11+ε .

Laut Voraussetzung ist der zweite Faktor rechts endlich, es ist damit hinreichend zu zeigen, dass auch E((X)k1+1ε) endlich ist. Das sollte aber kein Problem sein, denn mit m:=1+1ε gilt ja auf jeden Fall

(X)k1+1ε(X)kmXkm,

und von der Poisson-Verteilung sind ja alle Momente endlich.

Frage beantwortet
candys123

candys123 aktiv_icon

09:19 Uhr, 09.11.2019

Antworten
Hallo, danke für diesen Weg, diese Ungleichung kannte ich noch nicht, hatte auch einen Weg gefunden über das Quotientenkriterium.
MfG
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

18:31 Uhr, 09.11.2019

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> diese Ungleichung kannte ich noch nicht,

Dann freue ich mich geholfen zu haben, diese Bildungslücke zu schließen: Schließlich ist die Hölderungleichung ein zentrales Hilfsmittel für Beweise in der Maßtheorie, auch und gerade zu Eigenschaften von Lp-Räumen.

Was du im Zusammenhang hier mit "Quotientenkriterium" meinst, ist mir jetzt nicht präsent.

Frage beantwortet
candys123

candys123 aktiv_icon

21:27 Uhr, 09.11.2019

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Aus der Vorraussetzung E(f(X)1+ε)=j=0f(j)1+ε*λjj!*e-λ< konnte man mithilfe des Quotientenkriterium folgendes schließen:

limsupn(f(n+1)f(n))1+ελn+11

und damit gilt

kN0: für alle nk:f(n+1)f(n)1+ελn+12
f(n+1)f(n)2n+1λ11+ε #

nun formt man beim gesuchten um:

E(f(X+k))=j=0f(j+k)λjj!e-λ=j=kf(j)λj-k(j-k)!e-λ

nun wieder mit dem Quotientenkriterium:

limsupnf(n+1)λn+1-k(n+1-k)!e-λf(n)λn-k(n-k)!e-λ=...=limsupn(f(n+1)f(n)1+ελn+1)*limsupnn+1n-k+1

mit limsupnn+1n-k+1=1 und # folgt dann

limsupn(f(n+1)f(n)1+ελn+1)*limsupnn+1n-k+1limsupn(211+ε*((λn+1)-1)11+ε*λn+1=0<1

ddamit folgt die Behauptung aus dem Quotientenkriterium
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

12:17 Uhr, 10.11.2019

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Wieso soll man aus der Konvergenz einer Reihe nan auf limsupnan+1an1 schließen dürfen? Diese "Umkehrung" des Quotientenkriteriums ist i.a. falsch, man schaue sich etwa das Gegenbeispiel

an={2-n für n ungerade4-n für n gerade

an. Damit ist bereits die Aussage in deiner dritten Zeile hinfällig, und es sind wohl größere Umbauten im Beweis nötig ... falls er überhaupt noch in dieser Weise gelingt. :(

Frage beantwortet
candys123

candys123 aktiv_icon

13:35 Uhr, 10.11.2019

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Direkt aus der Lösung entnommen:

"Es gilt:
E(f(X+k))=n=0e-λλnn!f(n+k)=n=ke-λλn-k(n-k)!f(n)


Um die Konvergenz dieser Reihe zu zeigen, genügt es nach dem Quotientenkriterium nachzuweisen, dass
limsupnλf(n)(nk)f(n1)<1 gilt.

Wegen E(f(X)1+ε)< gilt:

limsupnλ11+εf(n)n11+εf(n1)1

Daher gilt:

limsupnλ*f(n)(n-k)f(n-1)=(limsupnλ11+εf(n)n11+εf(n-1))*(limnλε1+εnε1+ε)=0"
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

13:39 Uhr, 10.11.2019

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Auch wenn es irgendeiner "offiziellen" Lösung entnommen ist, ist dieser Schluss dennoch falsch. Traurig, dass dich das Gegenbeispiel nicht überzeugt - aber wenn du dich dieser offenkundige Tatsache verweigerst, kann ich auch nichts machen.
candys123

candys123 aktiv_icon

13:41 Uhr, 10.11.2019

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Ich habs schon das Gegenbeispiel durchgerechnet und hab auch gesehen das man daraus das nicht schließen darf, wollte nur die "Lösung" eins zu eins abtippen, falls ich mich oben irgendwie vertippt habe, werde mal den Professor darauf hinweisen.

Danke für die Hilfe.
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