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Aufgabe zur punktweisen Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen, Konvergenz, Punktweise Konvergenz

DezzardHD aktiv_icon

19:41 Uhr, 07.10.2019

Moin,
folgende Aufgabe ist gegeben:
Betrachten Sie die reelle Funktion

f_{n} : ℝ \to ℝ

definiert durch:

f_{n} = \frac{3 \cdot n}{2 + n \cdot x^{2}}

mit

x

Element der

ℝ

und

n

Element

ℕ

(ohne Null).

Mein Ansatz sieht wie folgt aus:

n \to \infty

für die Funktionenfolge

f_{n} (x),

also nach entsprechende Umformung:

f_{n} = \frac{3}{\frac{2}{n} + x^{2}},

sodass man nach dem Grenzwert

n \to \infty

folgern kann, dass für alle Funktionenfolgen der Grenzwert gleich 0 sein dürfte.
Sehe ich das richtig?
Und wenn ich auf gleichmäßige Konvergenz überprüfen möchte, dann nehme ich die gefundene Grenzfunktion und überprüfe:
limsup für

n \to \infty | f_{n} (x) -

Grenzfunktion|=0
Ich überprüfe also, ob der Grenzwert der absoluten Differenz aus Funktionenfolge und Grenzfunktion auch letztlich 0 sein würde.
Sehe ich das wieder richtig?
Entsprechend würde ich für die gleichmäßige Konvergenz auf die Nullfunktion als Grenzfunktion tippen.

Ich hoffe Ihr könnt meine Ausführungen nachvollziehen und sagen, ob sie korrekt sind oder nicht.

Mit freundlichen Grüßen

DezzardHD

ermanus aktiv_icon

22:30 Uhr, 07.10.2019

Hallo,
für jedes feste

x \neq 0

folgt aber doch wohl

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = \frac{3}{x^{2}}

, oder?
Gruß ermanus

anonymous

07:22 Uhr, 08.10.2019

Hallo
Auf jeden Fall solltest du erst mal verraten, wie denn nun eigentlich die Aufgabe lautet.
"Betrachten Sie die reelle Funktion..."
könnte auch heißen, dass du den Hochpunkt diskutieren sollst.
Ohne brauchbare Aufgabenstellung können wir endlos diskutieren.

michaL aktiv_icon

08:01 Uhr, 08.10.2019

Hallo,

für mich sieht das danach aus, als solle der punktweise Limes bestimmt werden. Anschließend soll wohl geschaut werden, ob die Konvergenz gleichmäßig ist.
Ich gebe aber zu, dass der TE das gut verborgen hat. Mein Mantra: Bitte hänge einen Scan der Originalaufgabenstellung an.

Zum punktweisen Limes hat ermanus ja alles geschrieben, was zu schreiben war.

Ist die Konvergenz gleichmäßig?
Dazu stelle man fest, ob der punktweise Limes, wie alle Funktionen der Schar, global stetig ist.

Mfg Michael

DezzardHD aktiv_icon

11:56 Uhr, 08.10.2019

Moin,
danke für die Rückmeldungen.
Tut mir leid, dass ich die Aufgabenstellung weggelassen habe. Ich habe sie einfach übergangen...

Entscheiden Sie für die Funktionenfolge

f_{n} : ℝ \to ℝ

mit

n

Element

ℕ,

-ob diese punktweise konvergiert, und wenn ja, gegen welche Funktion (ich habe sie als Grenzfunktion bezeichnet)

f

mit

ℝ \to ℝ

.
-ob diese gleichmäßig konvergiert, und wenn ja, gegen welche Funktion

f

mit

ℝ \to ℝ

.

@ermanus
Also die Grenzfunktion die du nennst

(\frac{3}{x^{2}})

bekomme ich auf meinem Weg zur Null auch heraus.
Die Funktion

(\frac{3}{x^{2}})

für

x \to \infty

konvergiert ja dann letztlich gegen Null.
Aber scheinbar habe ich das missverstanden.
Wenn ich also die Funktionenfolge auf punktweise konvergenz überprüfen möchte, dann lasse ich

n \to \infty

laufen und entnehme dann die daraus resultierende Funktion. Diese resultierende Funktion muss allerdings nicht konvergieren für

x \to \infty

? Eigentlich schon oder? Was ist dann, wenn ich eine divergente Funktion erhalte?

Um dann die gleichmäßige Konvergenz zu überprüfen würde ich nun angesichts der Antwort von ermanus folgendes überprüfen:
limsup für

n \to \infty

|fn(x) −

(\frac{3}{x^{2}}) | = 0

Oder fahre ich gerade in die komplett falsche Richtung?

Danke nochmals für die bisherigen Antworten!

Mit freundlichen Grüßen

DezzardHD

ermanus aktiv_icon

12:44 Uhr, 08.10.2019

Hallo,
ich verstehe nicht, was dieser Limes

x \to \infty

bei dieser Fragestellung zu suchen hat ...
Gruß ermanus

DezzardHD aktiv_icon

14:39 Uhr, 08.10.2019

Wenn die Funktionenfolge punktweise konvergiert und man zeigen möchte gegen welche Funktion die Folge konvergiert, dann bilde ich den Limes

n \to \infty

der Funktionenfolge und schaue mir dann die entsprechende Funktion an.
Und ich hatte mir dann gedacht, dass diese Funktion für den Limes

n \to \infty

konvergieren muss. Scheinbar ist dem aber nicht so, wenn ich dein Unverständnis über den "n

\to \infty

" richtig deute.
Die Frage ist dann nur, wann die Funktionenfolge nicht punktweise konvergent ist. Also man dürfte ja beim Limes

n \to \infty

immer irgendeine Funktion erhalten.

Sind meine Gedankenzüge nun besser nachzuvollziehen?

Mit freundlichen Grüßen

DezzardHD

ermanus aktiv_icon

14:46 Uhr, 08.10.2019

Ja, natürlich soll

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x)

sein für
jedes

x

, in dem

f_{n}

konvergiert. Aber was hat das mit

lim_{x \to \infty}

zu tun? Du scheinst hier immer

n

und

x

zu verwechseln ...
Ich habe nichts gegen

n \to \infty

, sondern gegen dein

x \to \infty

DezzardHD aktiv_icon

15:07 Uhr, 08.10.2019

Nachdem ich den Limes

n \to \infty

auf die Funktionenfolge angewendet habe, wende ich den Limes

x \to \infty

auf die Funktion an die ich beim ersten Limes erhalten habe.
Ich hatte die punktweise Konvergenz so verstanden, dass diese aus dem ersten Limes resultierende Funktion konvergieren muss, also lasse ich sie für

x

gegen unendlich laufen.
Ich dachte, dass das für die punktweise Konvergenz wichtig sei...

Keine Ahnung wie ich das sonst erklären soll.

Mit freundlichen Grüßen

DezzardHD

ermanus aktiv_icon

15:16 Uhr, 08.10.2019

Okay. Da liegt bei dir ein großes Missverständnis vor.
Es geht nicht darum, wie sich irgendwelche Funktionen für große

x

-Werte
verhalten, sondern ob für jeweils festes

x

die reelle Zahlfolge

f_{n} (x)

einen Grenzwert besitzt. Ist das dann der Fall, kann man für diese

x

-Werte eine Funktion

f

definieren, so dass

f (x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (x)

ist.
Im Falle

x \neq 0

haben wir ja für diese Grenzfunktion nun

f (x) = \frac{3}{x^{2}}

.
Was passiert denn bei

x = 0

DezzardHD aktiv_icon

15:43 Uhr, 08.10.2019

Ich schaue mir also für eine Funktionenfolge

f_{n} (x)

den Grenzwert

lim_{n \to \infty}

für prinzipiell jedes einzelne

x

an.
Nun ist

x

Element

ℝ,

also muss ich mir überlegen, bei welchen x-Werten es zu Besonderheiten kommen könnte.
Wenn man nun

x = 0

wählt und

lim_{n \to \infty} (f_{n} (x))

wählt, dann käme man doch zu dem Schluss, dass die Funktionenfolge nicht für

x

Element

ℝ

punktweise konvergent ist, da die mögliche Grenzfunktion

f (x) = (\frac{3}{x^{2}})

nicht mit

x = 0

kompatibel ist.
Man darf nicht durch 0 teilen!
Also liegt hier eine nicht punktweise konvergente Funktionenfolge vor?

So in etwa?

ermanus aktiv_icon

15:56 Uhr, 08.10.2019

Ja, fast so ...
Der Limes

lim_{n \to \infty} f_{n} (0)

existiert nicht, ist sozusagen

= \infty

.
(Du darfst dich hier nicht auf das Verhalten von

\frac{3}{x^{2}}

an der Stelle

0

berufen).
Daher konvergiert die Funktionenfolge nicht punktweise in ganz

ℝ

.
Also konvergiert diese Funktionenfolge erst recht nicht gleichmäßig in

ℝ

.
Schränkt man aber alle betrachteten Funktionen auf

ℝ^{*}

ein,
also auf die Menge

ℝ \ {0}

, dann konvergiert die ebenso benannte
Funktionenfolge

f_{n} : ℝ^{*} \to ℝ

punktweise gegen
die Funktion

f : ℝ^{*} \to ℝ, x \mapsto \frac{3}{x^{2}}

.
Nun könnte man sich noch fragen, ob dieses gleichmäßig geschieht.

DezzardHD aktiv_icon

16:34 Uhr, 08.10.2019

Meine folgenden Schritte beruhen auf folgender Definition:

= = =

Voraussetzung für die gleichmäßige Konvergenz ist die punktweise Konvergenz. Du hast also eine Funktionenfolge

f_{n},

die auf dem Intervall I punktweise mit der Grenzfunktion

f (x)

konvergiert. Zusätzlich hast du eine Nullfolge

a_{n},

so dass gilt:

| f_{n} (x) - f (x) | \leq a_{n}

für alle

n

Element

ℕ

und

x

Element I

Dann heißt die Funktionenfolge

f_{n}

gleichmäßig konvergent auf I.

= = =

(siehe studyflix.de/informatik/funktionenfolgen-gleichmassige-konvergenz-906

Für

x

Element

ℝ

ohne Null:

| \frac{3 \cdot n}{2 + n \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} | = | \frac{3}{\frac{2}{n} + x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} |

und mit dem Wissen, dass beispielsweise

a_{n} = \frac{1}{n^{2}}

eine Nullfolge ist, kann man durch abschätzen behaupten, dass:

| \frac{3}{\frac{2}{n} + x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} | \leq \frac{1}{n^{2}}

und somit die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist.
Wenn dem denn so ist, ist die Funktion gegen die die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist folgende:

f (x) = \frac{3}{x^{2}}

Danke sehr für die Hilfe. Zumindest bei der punktweisen Konvergenz bin ich mir jetzt sicherer, dass ich es verstanden habe.

ermanus aktiv_icon

16:46 Uhr, 08.10.2019

Seltsam, was du da so rechnest ;-)
Bei mir ist

∣ \frac{3 n}{2 + n x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} ∣ = ∣ \frac{6}{(2 + n x^{2}) x^{2}} ∣

, und das ist für jedes

n > 0

ℝ^{*}

unbeschränkt:

sup_{x \in ℝ^{*}} ∣ \frac{6}{(2 + n x^{2}) x^{2}} ∣ = \infty

.
Also ist

f_{n}

auf

ℝ^{*}

nicht(!) gleichmäßig konvergent.
Gruß ermanus

DezzardHD aktiv_icon

17:07 Uhr, 08.10.2019

Nutzt Du hier eine andere Definition als ich, oder checke ich einfach nicht den Zusammenhang zwischen oberer Schranke und der Nullfolge von der in "meiner" Definition gesprochen wird?
Also wenn man sagt, dass das die absolute Differenz immer kleiner ist, als eine bestimmte Nullfolge, dann ist das ja prinzipiell auch eine Schranke.
Wenn Du jetzt aber in deiner Rechnung den Superior anwendest, dann erwarte ich allerdings nicht eine Nullfolge als Schranke, sondern eher eine Konstante, außer es gibt diese Schranke nicht.
Liege ich damit falsch?
Wenn Du nun den Superior auf die Differenz anwendest, was machst Du dann mit dem

n

und dem

x

.
Ich nehme an, dass Du das

n

einfach in Ruhe lässt und Dir überlegst, wie sich das

x

für die Werte aus dem Intervall (also

ℝ

ohne

0)

verhält.
Korrekt?

ermanus aktiv_icon

17:32 Uhr, 08.10.2019

Solch eine Schranke muss natürlich unabhängig von

x

sein.
Wozu du den Limes superior brauchst ist mir ohnehin nicht ganz klar.
Ich glaube du verwechselst da

lim_{n \to \infty} ∥ f_{n} - f ∥ = lim_{n \to \infty} sup_{x \in D} ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣

mit

limsup . . .

.
Es geht doch darum, ob die Funktionenfolge bzgl. der Supremumsnorm
konvergiert, ob also die Folge

{(sup_{x \in D} ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣)}_{n \in ℕ}

eine reelle Nullfolge ist.

Wenn wir in unserem Beispiel statt

D = ℝ^{*}

als Definitionsbereich das Intervall

D = [1, 2]

nehmen,
dann können wir für jedes

n > 0

das Supremum leicht bestimmen:

sup_{x \in [1, 2]} ∣ \frac{6}{(2 + n x^{2}) (x^{2})} ∣ = \frac{6}{2 + n} \to 0

für

n \to \infty

.

Auf dem Intervall

[1, 2]

konvergiert unsere Folge

f_{n}

also
gleichmäßig gegen

f

.

Gruß ermanus

DezzardHD aktiv_icon

17:51 Uhr, 08.10.2019

Danke für Deine Antwort!
Ich habe limes superior und superior durcheinander gebracht.
Zudem glaube ich, dass ich das mit der gleichmäßigen Konvergenz jetzt auch kapiert habe.

Danke vielmals!!!

Mit freundlichen Grüßen

DezzardHD

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