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Aufgabe - zwei Matrizen simultan Diagonalisieren
Universität / Fachhochschule
Determinanten
Eigenwerte
Matrizenrechnung
Skalarprodukte
Tags: Determinant, Eigenwert, Matrizenrechnung, Skalarprodukt
 
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Ich habe die Determinante von berechnet, um das charakteristische Polynom der Matrix zu finden. Meine Schritte waren wie folgt: Zunächst sind die Matrizen und gegeben als: \[ A = \begin{pmatrix} -5 & 1 & 6 & 6 \\ 1 & 12 & 0 & 12 \\ 1 & 4 & 12 & 6 \\ 0 & 4 & 6 & 6 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & -4 \\ 3 & 1 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} \] Um das charakteristische Polynom von zu finden, berechne ich die Determinante von : \[ p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -5 - \lambda & 1 & 6 & 6 \\ 1 & 12 - \lambda & 0 & 12 \\ 1 & 4 & 12 - \lambda & 6 \\ 0 & 4 & 6 & 6 - \lambda \end{pmatrix} \] Dies ergibt: \[ = - \det \begin{pmatrix} -12 & -12 & 12 \\ 4 & 6 - \lambda & -2 \\ 4 & 6 - \lambda & -2 \end{pmatrix} + (2 - \lambda) \cdot \det \begin{pmatrix} -5 - \lambda & 6 & 6 \\ 1 & -\lambda & -2 \\ 4 & 6 - \lambda & -2 \end{pmatrix} \] \[ - \det \begin{pmatrix} -5 & 6 & 6 \\ -12 & 12 & 12 \\ -4 & 4 & 6 - \lambda \end{pmatrix} \] Dann berechne ich weiter: \[ = -12 \cdot \det \begin{pmatrix} \lambda & -2 & 6 \\ 4 & 6 - \lambda & -2 \end{pmatrix} - \det \begin{pmatrix} 12 & 12 & 12 \\ 4 & 6 - \lambda & -2 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \det \begin{pmatrix} -5 - \lambda & 6 & 6 \\ -4 & 6 - \lambda & -2 \end{pmatrix} \] \[ + (2 - \lambda) \cdot \left( 6 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -4 & 6 - \lambda \end{pmatrix} - \lambda \cdot \det \begin{pmatrix} -5 - \lambda & 6 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} - 4 \cdot \det \begin{pmatrix} -12 & 12 \\ 4 & 6 - \lambda \end{pmatrix} \right) \] Zusammengefasst ergibt sich das charakteristische Polynom: \[ = -\left( \begin{aligned} & \lambda^4 - 72\lambda^3 + 144\lambda^2 - 96\lambda + 36 - 2\lambda \cdot (2\lambda^3 - 4\lambda^2 + 28\lambda - 12) \\ & - 4(\lambda^2 + 72\lambda - 28\lambda^3 + 36\lambda^2) \\ \end{aligned} \right) \] \[ = \lambda^4 - 33\lambda^3 - 26\lambda^2 + 60\lambda - 12 \] Das charakteristische Polynom von lautet also: \[ p_A(\lambda) = \lambda^4 - 33\lambda^3 - 26\lambda^2 + 60\lambda - 12 \] Anschließend sollte man die Eigenwerte berechnen, aber bei einem Polynom vierten Grades war es nur durch Ausprobieren möglich, ganze Zahlen als Lösungen zu finden. Ich bin mir nicht sicher, ob ich das charakteristische Polynom korrekt berechnet habe. Dasselbe Vorgehen sollte dann auch für die Matrix angewendet werden. Danach muss überprüft werden, ob gilt, um zu zeigen, dass die beiden Matrizen simultan diagonalisierbar sind und die Eigenvektoren von gleich oder linear abhängig von den Eigenvektoren von sind. Im nächsten Schritt sollten die Eigenwerte der Matrizen jeweils in die Hauptdiagonale eingesetzt und die restlichen Komponenten auf Null gesetzt werden. Soll dann aus den Spalten von bzw. bestehen? Oder sollte ich die Diagonalmatrizen einzeln durch bzw. berechnen? Wie genau erfolgt dann die "simultane" Diagonalisierung? Und was wäre, wenn eine solche Aufgabe in der Klausur gestellt wird? Es scheint mir unmöglich, diese in der vorgegebenen Zeit zu lösen.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, dein posting ist schlecht zu lesen! > Und was wäre, wenn eine solche Aufgabe in der Klausur gestellt wird? Es scheint mir unmöglich, diese in der vorgegebenen > Zeit zu lösen. Nun, Übung macht den Meister. Sicher wird die Zeit angemessen sein. Hinzu kommen ein paar Tricks, die man als Student kennen sollte: Ich habe beispielsweise . Addiere die Koeffizienten und erkenne, dass ihr Wert Null ist. Damit berechnet: Nachdem du die Division durchgeführt hast, siehst du (hoffentlich), dass gilt, d.h. du siehst einen weiteren Faktor: lässt sich im Schlaf faktorisieren. Ähnlich . Sowohl die Koeffizientensumme also auch die alternierende Summe sind Null, sodass du leicht austeilen kannst. Ergebnis: Das sollte man auch ohne pq-Formel faktorisieren können, wenn man in Übung mit dem Wurzelsatz von Vieta ist. Die Eigenwerte sind schnell gemacht. Eigenvektoren dauern naturgemäß etwas länger. Ich würde mir die Eigenvektoren zunächst nur von einer Matrix (vermutlich von , da dort die Summe der Beträge der Eigenwerte kleiner ist) berechnen. Beginnen würde ich mit den denen, deren Eigenwert die algebraische (und damit geometrische) Vielfachheit 1 hat. In diesem Fall geht es um den zu gehörenden EV . Probe ergibt dass er auch EV von ist zum EW . (Kann man weglassen, muss ja so sein.) Desweiteren gäbe es da zu, EW den EV von . (Welcher umgekehrt ein EV von zum EW 2 ist.) Den müssen wir also nehmen, da die Vielfachheit von eben auch nur 1 ist. Der EV von (!!) zum EW 1 ist . (Wegen der Vielfachheit 1 muss der in der gemeinsamen Basis auftauchen.) Leicht zu sehen ist der EV von zum doppelten EW 1, der aber offensichtlich KEIN EV von ist. Dann bleibt als wirklicher Zeitfresser nur die Aufgabe, beide Eigenräume der Dimension 2 der beiden Matrizen zu berechnen und daraus den einen fehlenden EV zu gewinnen. Etwa: Ok, Matrix bestimmt: (Reihenfolge der EV ist egal, hat nur Auswirkung auf die Diagonalmatrix, die ja aber nicht angegeben werden muss.) Ich finde, der Aufwand ist überschaubar. Mfg Michael PS: > Im nächsten Schritt sollten die Eigenwerte der Matrizen jeweils in die Hauptdiagonale eingesetzt und die restlichen > Komponenten auf Null gesetzt werden. Unnötig! > Soll T dann aus den Spalten von A bzw. B bestehen? Nein, die Spalten von müssen aus den EV bestehen. (S.o.) Das fällt meiner Ansicht nach unter mangelhaftes Training! > Oder sollte ich die Diagonalmatrizen einzeln durch TAT−1 bzw. TBT−1 berechnen? Würde ich nicht tun. Gefragt ist nur nach der Transformationmatrix. Die Invertierung von samt vierer weiterer Matrixmultiplikationen ist aufwendig. > Wie genau erfolgt dann die "simultane" Diagonalisierung? Die ist hier nicht mehr nötig. Wenn du es trotzdem wissen willst: Gegeben sind folgende Vektoren mit Zuordnung zu den EW der jeweiligen Matrix: .....1..............-2............2...........2 .... .....1..............-1...........-2...........1 |
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Vielen Dank! Ich habe auch bemerkt, dass es ab und zu einige Fehler in dem Text aufgetaucht hat, welche ich eigentlich nicht so meinte, aber Ihre Antwort erklärt alles. Eine kurze technische Frage über die Seite: Wie kann man Matrizen gut lesbar anzeigen lassen? Normalerweise im LaTeX kann man glaube ich dafür in dem Dokument aus einem spezifischen Bibliothek Codes holen, aber hier erstellt man ja in der Sinne kein neues Dokument, sondern nur ein Beitrag... Deswegen könnte ich auch nicht richtig gut schreiben. Entschuldigen Sie bitte die unübersichtliche Schreibweise, das war mein erstes Beitrag hier. |
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Hallo, 1. Siezen ist auf Seiten wie diesen unüblich. 2. Zum Mathemodus: Wer mit LaTeX umzugehen weiß, sollte den Expertenmodus verwenden. Formeln wie kodiert man wie folgt: $\left(\begin{array}{rrr}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{array}\right)$ Mfg Michael |
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