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Aufgaben im Bereich Algebra

Schüler Berufsfachschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Algebra, Aufgaben

lollipop20 aktiv_icon

15:28 Uhr, 19.03.2015

Wer kann mir hier dabei helfen? ich komme einfach nicht weiter bei diesen Aufgaben..

A :

Wieviele positive ganzzahlige Lösungen

(x, y)

mit

x < y

hat die Gleichung x+y+xy+1=2002

B :

Lisa übt mit ihrem kleinen Bruder rechnen; er möchte

10

aufeinander folgende Zahlen addieren und erhält das Ergebnis

2006

. Lisa merkt aber, dass er bei seiner Addition eine Zahl vergessen hatte. Welche?

C :

Welche Ziffer steht bei

112004

an der zweitletzten Stelle?

D :

Für wieviele positive ganze Zahlen

n

ist

\frac{16 \cdot (n + 1)}{n - 1}

eine ganze Zahl?

E :

Marcel spielt gegen Mark Tischtennis. Hätte Marcel 5 Punkte mehr, dann wären das doppelt so viele wie Mark hat. Hätte er 7 Punkte weniger, wäre das die Hälfte von Marks Punkten. Wie viele Punkte hat Marcel?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Edddi aktiv_icon

15:43 Uhr, 19.03.2015

A :

Es ist ja

x + y + x \cdot y + 1 = (x + 1) \cdot (y + 1)

vielleicht hift dir das weiter.

;-)

Edddi aktiv_icon

16:01 Uhr, 19.03.2015

Summe von

10

Zahlen könnte man so darstellen:

\sum = a + (a + 1) + (a + 2) + ... + (a + 9) = 10 \cdot a + \sum_{n = 0}^{9} n = 10 \cdot a + 45

hat er beim zusammenzählen nun eine vergessen (und zwar die Zahl

a + i),

so muss sich ergeben:

10 \cdot a + 45 - (a + i) = 2006

9 \cdot a + 45 - i = 2006

bei Teilung durch 9 (wegen dem schönen Term

9 \cdot a + 45

auf der linken Seite) müssen nun beide Seiten den gleichen Rest lassen. Ich weiß nicht, ob dir die modula-Schreibweise geläufig ist, deswegen schreibe ich einfach

R_{9} (...)

für den Rest bei Teilung durch 9

R_{9} (9 \cdot a + 45 - i) = R_{9} (2006)

R_{9} (9 \cdot a) + R_{9} (45) - R_{9} (i) = R_{9} (2006)

0 + 0 + R_{9} (- i) = R_{9} (8)

R_{9} (- i) = R_{9} (8)

R_{9} (9 - i) = R_{9} (8)

damit muss

i = 1

sein.

aus

9 \cdot a + 45 - i = 2006

kannst du nun a und die fehlende Zahl

(a + i)

ermitteln.

;-)

Bummerang

16:29 Uhr, 19.03.2015

Hallo,

da hat Edddi volles Rohr gegen Spatzen geschossen! Wenn man zehn aufeinanderfolgende Zahlen addiert, so enden diese auf alle möglichen Ziffern,

d . h

. die letzte Stelle ist die Summe aller Ziffern von 0 bis 9 und das ist

45

. Damit ist klar, dass die letzte Stelle der fehlenden Zahl 9 ist, denn nur durch die Addition von 9 kann man aus

2006

eine auf 5 endende Zahl bekommen. Die zehn aufeinanderfolgenden Zahlen seien nun bezeichnet mit

x - 4,5, x - 3,5, x - 2,5, x - 1,5, x - 0,5, x + 0,5, x + 1,5, x + 2,5, x + 3,5, x + 4,5,

wobei

x

der Mittelwert der

10

Zahlen ist, also

10 \cdot x

gleich der Summe. Dann gilt:

10 \cdot x - (x + r) = 2006

9 \cdot x - r = 2006

x - \frac{r}{9} = \frac{2006}{9} = 222, \bar{8}

x = 222, \bar{8} + \frac{r}{9}

wobei

| \frac{r}{9} | \leq \frac{4,5}{9} = 0,5

ist, also

- 0,5 \leq \frac{r}{9} \leq 0,5

. Damit gilt:

222, \bar{8} - 0,5 \leq x \leq 222, \bar{8} + 0,5

UND

x - 4,5 \leq x + r \leq x + 4,5

222, \bar{8} - 5 \leq x - 4,5 \leq x + r \leq x + 4,5 \leq 222, \bar{8} + 5

217, \bar{8} \leq x + r \leq 227, \bar{8}

Die einzige natürliche Zahl, die auf 9 endet und diese Ungleichung erfüllt ist

219!

Wenn man, was ja nicht gefragt ist, dann noch wissen will, mit welcher Zahl begonnen wurde zu addieren, kann man noch

\frac{2006 + 219}{10} - 4,5

rechnen.

Für Aufgabe

d)

noch der Tip:

\frac{16 \cdot (n + 1)}{n - 1} = \frac{16 \cdot (n - 1 + 2)}{n - 1} = \frac{16 \cdot (n - 1) + 16 \cdot 2}{n - 1} = \frac{16 \cdot (n - 1)}{n - 1} + \frac{32}{n - 1} = 16 + \frac{32}{n - 1}

Für Aufgabe

c)

noch der Tip: Mach das mal lesbar! Man kann nur vermuten, dass es

11^{2004}

heissen soll. Denk dann mal nach, auf was

11^{2}, 11^{3}, 11^{4}, 11^{5}

enden und ziehe daraus Deine Schlüsse, was die letzte Ziffer eines Produktes zweier Zahlen, die auf 1 enden wohl sein muss!

lollipop20 aktiv_icon

17:15 Uhr, 19.03.2015

danke für eure Mühe und die Tips :-)

ja, das soll

11^{2004}

heißen!

und wenn ich ehrlich bin, hab ich keine Ahnung, wie ich was rechnen muss..ich hatte seit Jahren kein Mathe mehr und mir lags noch nie.. das sind für mich alles Fragezeichen..

- . -

Edddi aktiv_icon

17:43 Uhr, 19.03.2015

. .

. ich finde nicht, dass mit Kanonen auf Spatzen geschossen wurde. Aus

a = 218

und

i = 1

ergibt sich direkt die Lösung

a + i = 219

.

;-)

Edddi aktiv_icon

18:02 Uhr, 19.03.2015

. .

. bei

D)

ist nach der 2.-letzten (vorletzten) Stelle gefragt. Die Letzte Stelle sollte klar sein, oder?

Nun muss man nur schauen, welchen Rest

11^{2004}

bei Teilung durch

100

lässt.

;-)

Edddi aktiv_icon

07:03 Uhr, 20.03.2015

. .

. nun noch zu

E :

M a r c e l + 5 = 2 \cdot M a r c

M a r c e l - 7 = \frac{1}{2} \cdot M a r c

oder mit

M a r c e l = x

und

M a r c = y

x + 5 = 2 \cdot y

x - 7 = \frac{1}{2} \cdot y

Dieses GLS sollte leicht zu lösen sein.

;-)

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