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Aufgaben zum Gruppenhomomorphismus

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Gruppenhomomorphismus, Konjugation

SleepingDog aktiv_icon

18:08 Uhr, 28.10.2009

Also, muss bis Freitag paar Aufgaben in Linearer Algebra lösen, leider hab ich da absolut keinen durchblick... Habe mir jetzt ein Buch bestellt aber das wird bis Freitag nicht da sein, deshalb bin ich unbedingt auf die Hilfe einiger schlauer Köpfe unter euch angewiesen...

Es geht um Gruppenhomomorphismen, ich habe leider absolut keine Ahnung wie ich ran gehen soll. Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar!

1)

Sei

G

eine Gruppe und

g

€

G

ein Element. Sei

f : G \to G

die Abbildung "Konjugation durch g",

d . h

f (a)

=gag^-1 für jedas a € G. zeigen Sie, dass

f

ein Gruppenhomomorphismus ist.

2)

Sei

f : G \to H

ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:

a) f

bildet das neutrale Element von

G

auf das neutrale Element von

H

ab.

b) f

bildet das Inverse von x€

G

auf das Inverse von

f (x)

€H ab.

Rentnerin

18:16 Uhr, 28.10.2009

Hallo,

hast Du im Skript nachgelesen, wann eine Abbildung

f : G \to G

zwischen Gruppen ein Homomorphismus genannt wird?

Gruß Rentnerin

SleepingDog aktiv_icon

18:24 Uhr, 28.10.2009

Naja, der Prof hat alles im extremen schnelldurchlauf gemacht weil er was schaffen wollte, leider werde ich deswegen aus garnichts schlau. Ich verstehe nichtmal richtig was mit

f : G \to G

gemeint ist

= (

Rentnerin

18:34 Uhr, 28.10.2009

Aber ein Skript hast Du, oder? Sonst wird es schwierig mit den Aufgaben.

Also

f : G \to G

ist eine Abbildung, d.h. die Vorschrift

f

ordnet jedem Element von (dem linken)

G

eindeutig ein Element von (dem rechten, die sind allerdings hier identisch)

G

zu, ähnlich wie eine Funktion.

Du wirst ja hoffentlich so etwas wie

f : R \to R

mit

f (x) = x^{2}

kennen?

SleepingDog aktiv_icon

19:33 Uhr, 28.10.2009

Ja so kenne ich das aus der Schule! Heist das, anstatt

f : G \to G

kann ich mir auch vorstellen, dass da

f (x)

steht? Heist das Quasi das nem DB nen WB zugeordnet wird?
und bei

G \to G

heist das dann, dass

f (x) = x

ist?
Ein Skript hab ich aber da werd ich nicht schlau draus wenn ich die Aufgaben lösen will.

Rentnerin

19:53 Uhr, 28.10.2009

Du wirst Dich trotzdem schnellstens damit anfreunden müssen, mit dem Skript zu arbeiten.

Wenn Du eine Abbildung

f : G \to G

hast, dann wird jedem

x \in G

ein

y = f (x) \in G

zugeordnet. Jede Gruppe ist zunächst eine (nicht leere) Menge, die dann mit einer "Rechenstruktur" versehen ist. Denke an die ganzen Zahlen

Z

mit der Addition als Rechenstruktur. Jedem Paar von ganzen Zahlen

a, b \in Z

wird die Summe

a + b

zugewiesen.

Allgemein schreibt man

(G, \circ)

für eine Gruppe (mit Rechenstruktur

\circ

).

Abbildungen zwischen Mengen (wie z.B. oben die quadratische Abbildungen) sind beliebig konstruierbar; HOMOMORPHISMEN sind Abbildungen, die die Struktur "respektieren", d.h.

f : G \to G

ist ein Homomorphismus, wenn

f (x_{1} \circ x_{2}) = f (x_{1}) \circ f (x_{2})

für alle

x_{1}, x_{2} \in G

gilt.

Bis hierher klar?

Edit: Die quadratische Abbildung ist kein Homomorphismus wegen

(x_{1} + x_{2})^{2} \neq x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

SleepingDog aktiv_icon

06:54 Uhr, 29.10.2009

Ist das jetzt schon die Lösung für die erste Aufgabe?
Wenn nein, kann die vielleicht mal jemand posten, dann könnt ich mich mal ordentlich damit beschäftigen, weil wenn ich die Lösung hab bringt mich das meistens weiter.

Du sagst ja: f:G→G ist ein Homomorphismus, wenn f(x1∘x2)=f(x1)∘f(x2) für alle x1,x2∈G gilt

Heist das also, wenn zum Beispiel

x 1 = 2

und

x 2 = 4,

dass das dann ein Homomorphismus ist?

Rentnerin

08:51 Uhr, 29.10.2009

Ich habe Dir nur die Definition des Begriffs Homomorphismus hingeschrieben. Das hat mit der Aufgabenstellung noch überhaupt nichts zu tun.

"... wenn zum Beispiel

x_{1} = 2

und

x_{2} = 4

, dass das dann ein Homomorphismus ist"

Was soll dann ein Homomorphismus sein; Du hast ja gar keine Abbildung (und auch keine Gruppe) vorgegeben. Ein ganz konkretes Beispiel wäre

f : Z \to Z

mit

f (z) = 8 \cdot z

(die 8 ist beliebig gewählt!). Hier ist (

Z

,+) die Gruppe der ganzen Zahlen mit der gewöhnlichen Addition (das habt ihr ja wohl in der Vorlesung schon besprochen!).

f

ist ein Homomorphismus, weil für beliebige Elemente

a, b \in Z

gilt:

f (a + b) = 8 \cdot (a + b) = 8 \cdot a + 8 \cdot b = f (a) + f (b)

.

Nun zu Deiner Aufgabe. Hier weisst Du nur, dass G eine allgemeine Gruppe ist und dass eine Abbildung wie folgt definiert ist:

f : G \to G

mit

f (a) = g \circ a \circ g^{- 1}

für alle

a \in G

zu einem festen Element

g \in G

.

Dein Ansatz zur Überprüfung, ob es sich bei

f

um einen Homomorphismus handelt, lautet:

f (a \circ b) = . . . . . . . . . . . . = f (a) \circ f (b)

(Du hoffst, dass der rechte Ausdruck entsteht).

Konkret (mit dem neutralen Element

e_{G}

f (a \circ b) = g \circ (a \circ b) \circ g^{- 1} = g \circ (a \circ e \circ b) \circ g^{- 1} = . . .

Und jetzt musst Du das neutrale element

e_{G}

geschickt zerlegen. Weisst Du wie?

SleepingDog aktiv_icon

12:38 Uhr, 29.10.2009

Will dir erstmal

n

ganz großes Dankeschön aussprechen, dass du dich hier so mit mir beschäftigst!

Bin jetzt mal mit den neuen Erkenntnissen an die Aufgabe ran gegangen und bin auf folgendes gekommen:

f (a) =

fag^-1

f (b) =

fbg^-1

Zu zeigen: f(ab)

= f (a) f (b)

f (a) f (b) =

gag^-1 gbg^-1 = gabg^-1 = f(ab)

Ist das korrekt?

Rentnerin

21:25 Uhr, 29.10.2009

Vollkommen richtig!

Hast Du die zweite Aufgabe auch schon?

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