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Aufgaben zur Kombinatorik
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Kombinatorik
 
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Hallo ich suche Antworten auf ein paar Textaufgaben der Kombinatorik, mit einigen komme ich sehr gut klar, bei den anderen hier aufgelisteten komme ich aber nicht darauf, welchen Lösungsansatz ich benutzen soll.
1. Auf wie viele Arten kann man 5 Gäste in 10 Einzelzimmern unterbringen? 2.In einer Stadt mit 10 Millionen Einwohner habe jeder dritte Einwohner ein Telefon. Die Telefonnummer bestehen aus den Ziffern 0 bis 9, wobei 0 nicht als erste Ziffer vorkommen darf. Wieviele Stellen müssen die Telefonnummer mindestens haben? 3. Auf wieviele Arten kann man 5 Wellensittiche in 7 Vogelkäfigen unterbringen, wenn in jedem Käfig höchstens ein Vogel untergebracht werden soll? 4. Auf wieviele Arten kann man aus 10 Personen einen Dreierausschuss wählen? 5. An einen Tennisturnier nehmen 10 Spieler teil. Wieviele verschiedene Paarungen sind für die ersten Runde möglich? 6. Coesfelder Autoschilder haben die Form COE, dann zwei Buchstaben der Alphabets, gefolgt von 1 bis 3 ziffern. a) Für wie viele Autos reichen die Coesfeldern Nummernschilder aus ( bei 26 zur Verfügung stehenden Buchstaben) b) Ein Dieb ist im Auto entkommen. Ein Zeuge konnte auf dem Nummernschild nur noch COE und am 35 am Ende lesen. Nach wievielen Autos muss die Polizei fahnden?
Das wäre soweit das, was ich von insgesamt 20 Aufgaben nicht berechnen kann, ich bin mir sicher ein kluger Kopf von euch schreibt sicher in 2-3 Minuten alle Lösungen auf, wäre aber schön, wenn ihr mir auch sagt welchen Satz ihr verwendet habt!
Ich danke im Voraus! |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Gemischte Aufgaben der Kombinatorik Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen |
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1. Auf wie viele Arten kann man 5 Gäste in 10 Einzelzimmern unterbringen? 10*9*8*7*6 = 30240 für den ersten Gast hat man 10 zimmer zur Auswahl, für den zweiten dann nur noch 9,...und für den 5. Gast noch 6 Zimmer. 2.In einer Stadt mit 10 Millionen Einwohner habe jeder dritte Einwohner ein Telefon. Die Telefonnummer bestehen aus den Ziffern 0 bis 9, wobei 0 nicht als erste Ziffer vorkommen darf. Wieviele Stellen müssen die Telefonnummer mindestens haben? man braucht etwa 3,3 Millionen verschiedene Telefonnummern. Für den ersten Platz stehen 9 Ziffern (1-9) zur Auswahl, für die zweite Ziffer und alle folgenden jeweils 10 Ziffern (0-9) Kombinationen:Telefonnummer hat -1 Stelle: 9 -2 Stellen: 9*10 = 90 -3 Stellen: 9*10*10 = 900 -6 Stellen: 900000 -7 Stellen: 9000000 Mit 6 Stellen hat man zuwenig Kombinationen zur Verfügung (900.000), mit 7 Stellen jedoch ausreichend (9 Millionen) 3. Auf wieviele Arten kann man 5 Wellensittiche in 7 Vogelkäfigen unterbringen, wenn in jedem Käfig höchstens ein Vogel untergebracht werden soll? Für den ersten Wellensittich gibt es 7 verschiedene Möglichkeiten, für den 2. Sittich gibt es dann noch 6 freie Käfige,... 7*6*5*4*3 = 2520 4. Auf wieviele Arten kann man aus 10 Personen einen Dreierausschuss wählen? Für den ersten Platz des Dreierausschusses stehen 10 Personen zur Verfügung, für den zweiten Platz dann noch 9 Personen und für den dritten PLatz noch 8 Personen: 10*9*8 = 720 5. An einen Tennisturnier nehmen 10 Spieler teil. Wieviele verschiedene Paarungen sind für die ersten Runde möglich? 6. Coesfelder Autoschilder haben die Form COE, dann zwei Buchstaben der Alphabets, gefolgt von 1 bis 3 ziffern. a) Für wie viele Autos reichen die Coesfeldern Nummernschilder aus (bei 26 zur Verfügung stehenden Buchstaben) 26*26*(10*10*10-1) = 675324 Für die Buchstabenplätze kommen jeweils 26 Buchstaben in Frage, da die Buchstaben ja auch doppelt vorkommen können, für die hinteren Nummernplätze stehen jeweils 10 Ziffern zur Verfügung, wenn auf dem ersten oder auf den ersten beiden Plätzen Nullen stehen, werden diese entfernt (dadurch erreicht man die 1- und 2-ziffrigen Nummern Also: 036 wird als 36 geschrieben 008 wird als 8 geschrieben usw. die einzige Kombination, die nicht möglich ist auf dem Nummernschild, ist 000, also wird von den 10*10*10 Kombinationen eine abgezogen. b) Ein Dieb ist im Auto entkommen. Ein Zeuge konnte auf dem Nummernschild nur noch COE und am 35 am Ende lesen. Nach wievielen Autos muss die Polizei fahnden? Sämtliche Buchstabenkombinationen können auftreten, also 26*26 = 676 |
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Hallo, einige Anmerkungen und Korrekturen zu Sams83 Man sollte immer die 3 Möglichkeiten (Permutation, Kombination und Variation) mit ihren 2 Ausprägungen (mit oder ohne Wiederholung) im Hinterkopf haben und gerade bei diesen offensichtlichen Einstiegsaufgaben mit üben. zu 1. Eine Auswahl (also Kombination oder Variation) von 5 Elementen (Zimmern) aus 10 mit Beachtung der Reihenfolge (die Zuteilung der Zimmer an die Gäste ist unterschiedlich, wenn nur 2 Gäste die Zimmer getauscht haben: also Variation) ohne Wiederholung (da die Gäste nur in ein Zimmer gehen können): Formel dafür n!/(n-k)! : 10!/(10-5)! = 10!/5! zu 3. Ob nun Gäste in Einzelzimmer oder Wellensittiche einzeln in Vogelkäfige ist mathematisch egal, also Variation ohne Wiederholung: 7!/(7-5)! = 7!/2! zu 4. Hier irrt Sams83 m.E., denn es geht allein darum, wie viele Möglichkeiten es gibt, einen Ausschuß zu besetzen und nicht gleich noch die Posten wie Vorsitzender, stellvertreter und Schriftführer. Mit anderen Worten, es kommt nicht auf die Reihenfolge an, also Kombination, Formel dafür (n über k) : 10!/(3!*(10-3)!) = 10!/(3!*7!) zu 5. Hier kommt es natürlich auf den Turnierplan an, d.h. nach welchem Schema wird gespielt. Da Tennis i.d.R. nach dem K.O. System gespielt wird, ist es das Ziel der ersten Runde die Anzahl der Teilnehmer auf die nächstkleinere Zweierpotenz zu verkleinern. Die wäre hier 8, also müssen in der ersten Runde 2 Teilnehmer raus, dazu benötigt man 4 Teilnehmer, die in 2 Partien gegeneinander spielen. Die erste Partie bekommen wir durch eine Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge (Kombination): (10 über 2) = 10!/(2!*8!) Die zweite Partie bekommen wir durch eine Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge (Kombination): ((10-2) über 2) = (8 über 2) = 8!/(2!*6!) Macht zusammen: 10!/(2!*8!) * 8!/(2!*6!) = 10!/(2!*2!*6!) Jetzt ist aber nicht die Verteilung auf die beiden Partien gefragt, sondern nur die Paarungen, also darf man nicht unterscheiden, ob die Paarung A gegen B die erste oder die zweite Paarung ist, genauso wenig wie man das für die Paarung C gegen D machen darf. Hat man die Paare und verteilt sie auf die Partien, gibt es dafür 2 Möglichkeiten, d.h. die Anzahl der Paarungen ist nur halb so groß wie die Anzahl verschiedenen Partien. Alles zusammen: 1/2*10!/(2!*2!*6!) Diese Frage kann man auch direkter Lösen, indem man sich vorstellt, die 10 Spieler stehen in einer bestimmten Reihenfolge fest, z.B. alphabetisch. Dann kann man ihnen jeweils eine Kugel mit der Aufschrift 1 (Du spielst Partie 1), 2 (Du spielst Partie 2) und 0 (Du hast ein Freilos) zuordnen. Die Zuordnung erfolgt, indem man eine Anordnung der 2 Kugeln mit der 1, der 2 Kugeln mit der 2 und der 6 Kugeln mit der 0 findet. Der erste Spieler bekommt die erste Kugel der Anordnung und so weiter und so fort. Anordnung (Permutation) und nicht alle Kugeln unterscheidbar (mit Wiederholung). Die Formel dafür lautet hier: 10!/(2!*2!*6!) Die 1/2 muß man auf die selbe Art und Weise einfließen lassen. Es ist aber auch möglich, daß hier der Primitivansatz ohne Regelkenntnisse des Tennis gesucht ist, d.h. man will in der ersten Runde 5 Partien mit den 10 Spielern. Da mache ich mal gleich mit dem zweiten Ansatz von vorhin weiter: 10 Kugeln, jeweils 2 mit einer 1, 2, 3, 4 und 5 drauf. Kugeln anordnen 10!/(2!*2!*2!*2!*2!) = 10!/(2!)^5 Jetzt muß man nur noch auf die Reihenfolge der 5 Paare verzichten: 1/5! Macht zusammen: 1/5! * 10!/(2!)^5 Ich würde beide Lösungen angeben, man weiß ja nie... zu 6. a) Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge (Variation) mit Wiederholung. Formel dafür n^k : 26^2 b) Aus der hier eingestellten Aufgabenstellung geht nicht sauber hervor, ob "35 am Ende" bedeutet, daß die Zahl genau 35 sein soll oder es auch möglich ist, daß noch eine Ziffer davor gestanden hat. Ich würde deshalb 2 Lösungen anbieten: Die erste für genau 35 als Ziffernkombination hat Sams83 bereits geliefert. Die für "es ist möglich, daß davor noch eine Ziffer gestanden hat" ist 26*26*10 Die zehn Möglichkeiten, die hier im Produkt auftauchen, sind die Fälle: Ziffer 1 davor, ... , Ziffer 9 davor, keine Ziffer davor. |
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