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Aufgabenstellung Graf einer Funktionenschar

Schüler Kolleg, 11. Klassenstufe

Tags: Funktionenschar, Funktionsgraph, sachverhalt, Verhalten bei Unendlich

chris-abi2012

00:05 Uhr, 06.03.2011

Abend,

ich benötige bei folgender Aufgabenstellung zu einer Matheklausur fürs Abitur Hilfe.

Aufgabe:
Um die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen, kann man versuchen, die Durchflussgeschwindigkeit des Wassers an einer bestimmten Stelle des Flusses mit Hilfe geeigneter Funktionen zu beschreiben. Solche näherungsweisen Beschreibungen der Durchflussgeschwindigkeiten sein

z . B

. gegeben durch die Funktionenschar

f_{a}

mit

f_{a} (t) = \frac{1}{4} t^{3} - a \cdot t^{2} + a^{2} \cdot t, a > 0

Dabei gibt

f_{a} (t)

die Durchflussgeschwindigkeit in

10^{6} m^{3}

(Millionen Kubikmeter pro Monat) und

t

die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage

(t = 0)

an. Die Funktionen

f_{a}

berücksichtigen, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.

a) b) c) e) f)

bekomme ich selbst gelöst

d)

Begründen Sie, warum kein Punkt der Funktionsgraphen von

f_{a}

im Bereich

t \geq 0

unterhalb der t-Achse liegt und inwiefern dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar ist.
Geben Sie das Verhalten von

f_{a}

für

t \to \infty

an und begründen Sie, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monaten noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern.

Ich wüsste nun gar nicht, wie ich da mit ner sinnvollen Begründung anfangen soll.
für

f_{a}

für

t \to \infty

strebt der Graph gegen

+ \infty,

soviel kann ich sagen.

Kann mir hier jemand etwas auf die Sprünge helfen, wie man so eine Aufgabenstellung
beantwortet?

Vielen Dank schonmal im Voraus
Chris

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Funktionsgraphen analysieren

DmitriJakov aktiv_icon

00:31 Uhr, 06.03.2011

Als allererstes ist der Begriff Geschwindigkeit in diesem Zusammenhang problematisch, da es sich bei einem Fluss nicht um ein begrenztes System handelt. Fliesst durch ein (gefülltes) Rohr pro Zeiteinheit eine größeren Menge Wasser, so muss es in der Tat mit einer höheren Geschwindigkeit fliessen. Die Durchflussmenge stünde in direkter Proportionalität zur Geschwindigkeit. Bei einem Fluss ist ein solcher Zusammenhang nicht gegeben.

Und zweitens ist die Maßeinheit millionen Kubikmeter pro Monat wenig geeignet eine Geschwindigkeit auszudrücken. Es ist vergleichbar mit einer Geschwindigkeitsangabe für ein Auto, die in Liter Benzin pro Monat angegeben würde.

Diesen letzteren Vergleich im Kopf wird vielleicht klar, weshalb der Funktionsgraph nicht unter die Nulllinie sinken kann, denn das würde bedeuten, dass sich der Benzintank von selbst füllt bzw. im Fall des Flusses, dass das Wasser bergauf fliesst.

Der Funktionale Zusammenhang zwischen

x

und

f (x)

ist über die Variable Zeit, wobei

f (t)

eine Geschwindigkeit anzeigen soll. Das bedeutet, dass der Parameter a der Schar so etwas wie eine Beschleunigung darstellen muss. Dies im Zusammenhang mit einem Fluss kann IMHO nur noch schwer in einen sinnvollen Zusammenhang gebracht werden, bestenfalls vielleicht noch bei der Abbruchkante eines Wasserfalls.

BjBot aktiv_icon

01:32 Uhr, 06.03.2011

Der erste Teil von Aufgabe

d)

ergibt sich vermutlich schon direkt als Deutung einer der vorigen Aufgabenteile, in welchen du womöglich schonmal Aussagen über Extrempunkte bzw doppelte Nullstellen gemacht hast

(\frac{1}{4} t^{3} - a t^{2} + a^{2} t = \frac{1}{4} t {(t - 2 a)}^{2})

.
Auf den Sachverhalt übertragen stelle dir einfach vor was negative (Durchfluss)geschwindigkeiten bedeuten würden.
Den Aufgabenteil wo man eine Aussage über das Verhalten nach 8 Monaten treffen soll, finde ich aufgrund der schwachen Einschränkung von

a > 0

relativ sinnlos, denn wenn ich mein a nur groß genug wähle - sagen wir mal

a = 20,

dann hab ich bei

t = 2 \cdot 20 = 40

Monaten meine zweite Nullstelle (siehe Faktoriseriung von

f)

und nach 8 Monaten ist man halt noch in der Phase wo der Graph so langsam bis zu seinem Hochpunkt steigt, und das hat ja dann alles recht wenig mit dem Verhalten für

t

gegen unendlich zu tun und auch allgemein nicht wirklich eine Aussagekraft.
Evtl kann man mehr dazu sagen, wenn du die komplette Aufgabenstellung im Originallaut postest oder anhängst.

chris-abi2012

17:14 Uhr, 06.03.2011

Die anderen Aufgabenstellungen waren folgende:

a)

Berechnen Sie abhängig vom Parameter

a,

zu welchen Zeitpunkten gerade kein Wasser durch den Fluss fließt.

b)

Ermitteln Sie in Abhängigkeit von

a,

zu welchem Zeitpunkt die Durchflussgeschwindigkeit ein relatives Maximum bzw. Minimum annimmt, und berechnen
Sie diese Funktionswerte.

c)

Ermitteln Sie in Abhängigkeit von

a,

wann die Durchflussgeschwindigkeit besonders
stark absinkt, und berechnen Sie ihren Wert zu diesem Zeitpunkt.

e)

Ermitteln Sie für

a = 3,

wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den
Fluss fließt.

f)

Betrachten Sie nun zwei verschiedene Funktionen

f_{a} 1

und

f_{a} 2

. Bestimmen
Sie den Zeitpunkt

t_{0},

zu dem für beide Funktionsannahmen (seit

t = 0)

genau gleich viel
Wasser durch den Fluss geflossen wäre.

Wie gesagt, diese Aufgaben habe ich schon lösen können,
aber wenn dadurch die Aufgabenstellung

d)

besser veständlich wird,
wär ja gut.

Danke schonmal!
Chris

BjBot aktiv_icon

20:34 Uhr, 06.03.2011

Hast schonmal das hier gesehen ?

http://truth-quark.de/quark/Aufgaben_Analysis:_Abi_2007_NRW_LK_HT_2

Rechts oben (oder links unten) ist auch ein Link zu den Lösungen.

chris-abi2012

13:51 Uhr, 07.03.2011

Thanks Dudes :-)

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